SVM n°24 janvier 1986
SVM n°24 janvier 1986
  • Prix facial : 18 F

  • Parution : n°24 de janvier 1986

  • Périodicité : mensuel

  • Editeur : Excelsior Publications

  • Format : (203 x 280) mm

  • Nombre de pages : 132

  • Taille du fichier PDF : 149 Mo

  • Dans ce numéro : spécial Amiga de Commodore.

  • Prix de vente (PDF) : gratuit

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bondit pas obligatoirement sur les bandes comme un rayon lumineux sur un miroir (les bandes sont les bordures en caoutchouc caoutchou re- re couvert de feutre qui bordent le tapis du bil- bil lard). Le fait que la boule soit ronde (si l'on ose cette évidence) permet à celle-ci celleci de glis- glis ser, de rouler et de pivoter sur elle-même. ellemême. La combinaison de ces mouvements et leurs in- in teractions avec le le feutre du tapis et des bandes (par frottements) et les autres boules (par chocs) déterminent la trajectoire parfois étonnante de la boule. Pour comprendre plus facilement ce qui se passe, on peut segmenter le problème en quatre parties indépendantes que l'on va étudier séparément : le mouve- mouve ment d'une boule sur le tapis, le rebond sur une bande, le choc avec une autre boule, et enfin le lancement de la boule avec la queue. Si l'on sait résoudre ces problèmes, on peut faire un programme qui simulera véritable- véritable ment le jeu du billard. Le mouvement de la boule sur le tapis se décompose en deux types de mouvements possibles, le mouvement de roulement sans glissement où la boule roule normalement, Mouvement ent avec glissement X G =X G.+VG°.t - g.f.t U Déplacement _,.,, _,.,, _,,,, V, —V00- Vitesse Y G =V Go g.f.t U Le mouvement avec glissement devient un mouvement sans glissement a l'instant défini par : t1 — 2.11Vmoll YMo II Il 7.g.f Mouvement sans glissement g X G =XGo +VG..t - 13.r.t U VY c G =V,0 Go - 13.r.t B.r.t U Le mouvement sans glissement stoppe à l'instant défini par : t1 —llYGoll I1Vco fr [3.r Xc : position du centre de la boule position du centre de la boule à l'instant zéro Vc vitesse du centre de la boule _,.,, u _,.,, _,.,, _,.,, _,,,, _,.,, vitesse du centre de la boule à l'intant l'imam zéro U : vecteur unitaire parallèle à.Vmc, à YMo dans le cas du mouvement avec glissement et à'\&\6 0 pour le Je mouvement sans glissement comme la roue d'une voiture sur une route, et le mouvement avec glissement où la boule dérape. sur le tapis en même temps qu'elle avance. Ce frottement de la boule sur le tapis exerce une force qui modifie sa trajectoire, c'est ce que l'on lon appelle un•. effet.. Ainsi, si au départ la boule tourne.en sens inverse du mouvement de roulement normal, elle peut même revenir en arrière, c'est un•. rétro".. Pour déterminer le mouvement de la boule, il faut connaitre connaître au départ la vitesse de son centre de gravité (le centre de la boule) et toutes les composantes de sa vitesse de rotation. Il li y en a trois : la boule peut rouler roule.r dans le sens du mouvement, dans la direction perpendicu- perpendicu laire (il y a alors nécessairement un frotte- frotte ment) et enfin elle peut pivoter sur ellemême elle-méme sans rouler. En fait, dans le cas général, la vitesse de rotation est une combinaison de toutes ces composantes, qui donne ce Aue _que l'on appelle le vecteur vitesse de rotation. Dans létude l'étude du mouvement de notre boule, il est important de déterminer si l'on est dans le cas du roulement sans frottement ou avec frottement. Pour cela, on s'intéresse au point Déplacement Vitesse f et la Il sont les coefficients de frottement de glissement et de roulement r est le Je rayon des boules g l'attraction de pesanteur Vmo : vitesse du point de contact entre la boule et Je le tapis à l'intant zéro Figure figure 1 de la boule qui est en contact avec le tapis ; si sa vitesse par rapport au tapis est nulle, la boule roule, si il se déplace par rapport au tapis, la boule glisse (figure 2). Cette vitesse du point de contact par rapport au tapis est d'autant plus importante que c'est elle qui permet de déterminer la direction dans la- la quelle s'exerce la force de frottement quand il y en a un. Pour le frottement solide (la boule) contre solide (le tapis), cette force est cons- cons tante en intensité. Les équations complètes du mouvement sont assez complexes à calculer, vous les trouverez sur la figure 1. Conformément à l'intuition, le mouvement de roulement sans Vmx = Vgx -r.Qy Vmy = Vgy +r.1-2x Ox Vmz Ymz = 0 O Pivotement 1.2z Qz Rotation suivant les deux axes horizontaux 12x Qx et S2y Qy Boule de rayon r - a. Vitesse du centre de gravité Vg Vitesse du point de contact Vm Figure figure 2 glissement se poursuit en ligne droite, il n'y a pas de frottement de glissement, il est néan- néan moins freiné petit à petit par une autre force de frottement plus faible, le frottement de roulement. Si on n'introduisait pas ce frotte- frotte ment de roulement, la boule de billard conti- continuerait de rouler à l'infini, ce qui n'est certes pas conforme à la réalité. Le mouvement de roulement avec glissement est plus compli- compli qué, la trajectoire est parabolique. Ce qui se.passe est malgré tout assez simple à comprendre : tant que la boule glisse, la force de frottement dévie ou freine celle-ci, celleci, mais en même temps, ce frottement diminue la vitesse de glissement jusqu'à la rendre nulle ; la boule se met alors à rouler et on revient au mouvement sans glissement. Il est important de remarquer que le pivotement de la boule sur elle-même ellemême (selon un axe vertical) n'inter- nïnter fère ni avec le roulement, ni avec le glissement, la boule peut très bien pivoter et rouler ou glisser. Le pivotement intervient dans les chocs avec les bandes (voir plus loin). Der- Der glisse nière remarque sur le mouvement : pour sim- sim plifier, on néglige le frottement de pivotement (ce qui fait qu'une boule qui pivote sur ellemème, sur place, finit pars's'arrêter). Lorsque la boule heurte la bande, elle est réfléchie un peu comme un rayon lumineux sur un miroir. Toutefois, du fait que la boule est ronde et peut pivoter sur elle-même, elle-mème, il faut elle même, Suite page 66 Suite page 66 64 SCIENCE & lit VIE l'llCRO MICRO r1° N°24 - JAl'IVIEK JANVIER 1986
BI LIARD BILLARD 10 DIM XB(3),YB(3),X0(3),Y0(3), GX(3),GY(3),MX(3),MY(3), OX(3),0Y(3),OZ(3),UX(3), UY(3),T0(3),T1(3),V(3),MT(3) 10 DIM XB< 3l, VB <3l,XO C3l, VOC3l, SX C3l, GY l3l, MX <3l, MV<3l, 0X (3l,OVC3l,OZ C3 l, UXC3l, UV (3l,T0 (3l, T1 ! 3l, VC 3l, MT <3l Paramètres du jeu. Ces valeur s donnent un Paramètres du jeu. Ces valeurs donnent un comportement proche du billard classique, libre à vous de les modifier. 20 G = 9.81 : (gravité) M = 1 : (masse des boules) FB =.3 : (frottement sur les bandes) F =.05 : (frottement de glissement) CR =.9 : (coefficient de rebond) R = 4.5 : (rayon des boules) FR =.002 (frottement de roulement) comportement pr oche du billard classique, libre à vous de les modi f i er. 20 G = 9.81 : (gravi té) M = 1 : (masse des boules) Taille du billard et intervalle de temps entre deux tracés. 30 LX = 279:LY = 139:DT =.5 32 PC = 0 : GOSUB 20000 30 32 FB =. 3 : (frottement sur les bandes) F =. 05 : (frottement de gl i ssement ! CR =.9 : (coeffi ci ent de rebond) R = 4.5 : FR =. 002 (rayon des boules) Boucle principale 35 GOSUB 10000 40 T = 0 : GOSUB 11000 50 T = T + DT:FL = 0 : FOR K = 1 TO 3 60 IF MT(K) < > 0 THEN FL = 1 : GOSUB 5000 65 NEXT K 70 IF FL = 1 THEN GOTO 50 100 GOTO 35 Sous-programme de déplacement des boules 5000 IF T > = Tl(K) OR MT(K) = 3 THEN GOSUB 6500 5005 TT = T - TO(K) 5010 ON MT(K) GOSUB 6000,6100 5020 GOSUB 8000 5030 RETURN Calcul des nouvelles positions a-Mouvement avec glissement 6000 XB(K) = X0(K) + GX(K)*TT - G*FiTT*TT*UX(K)/2 6010 YB(K) = YO(K) + GY(K)*TT - G*F*TUTTIUY(K)/2 6020 RETURN b-Mouvement sans glissement 6100 XB(K) = X0(K) + GX(K)tTT - FR*R*TT*TT*UX(K)/2 6110 YB(K) = YO(K) + GY(K)*TT - FR*R*TTIKTUUY(K)/2 6120 RETURN Calcul des vitesses de translation et de rotation à la fin d'une phase de mouvement a-mouvement sans glissement 6200 IF MT(J) = 1 GOTO 6220 6210 GX(J) = GX(J) - FR*R* (T-TO(J)) *UX(J) : GY(J) = GY(J) - FR*R* (T-T0(J)) *UY(J) 6215 OX(J) = -GY(J)/R : OY(J) = GX(J)/R : RETURN b-mouvement avec glissement 6220 GX(J) = GX(J) - G*F* (T-TO(J)) *UX(J) : GY(J) = GY(J) - G*F* (T-TO(J)) *UY(J) 6225 OX(J) = OX(J) - 2.5*G*F* (T-TO(J)) *UY(J)/R : OY(J) = OY(J) + 2.5*G*F* (T-TO(J)) *UX(J)/R : RETURN Sous programme de calcul d'une nouvelle trajectoire 6500 IF MT(K) = 1 THEN 6600 6502 IF MT(K) = 2 THEN 6700 a-mouvement avec glissement 6503 MT(K) = 1 6504 GOSUB 10100 6505 MX(K) = GX(K) - R * OY(K) : MY(K) = GY(K) + R OX(K) (frottement de roul ement ! Taille du bi l lard et interva l le det emps entre deux tracés. LX = 279:LV = 139:DT =. 5 PC = 0 : GOSUB 20000 Boucle princ i pa l e 35 GOSUB 10000 40 T = 0 : GOSUB 11000 50 T = T + DT : FL = 0 : FOR K = 1 TO 3 60 IF MT< Kl < > 0 THEN FL = 1 : GOSUB 5000 65 NEXT K 70 IF FL = 1 THEN GOTO 50 100 GOTO 35 5000 5005 5010 5020 5030 6000 6010 6020 6100 6110 6120 6200 6210 6215 6220 6225 6500 6502 6503 6504 6505 Sous- programme de dépl acement des boul es IF T > = Tl ! Kl OR MT ! Kl = 3 THEN GOSUB 6500 TT = T - TO ! Kl ON MT = XOl lUV(Jl OX (J) = OXCJl - 2.5•GlFl - R l OV< Kl : MV + R t OX ! Kl 1Fran- ? °=° on) 6510 V(K) = SQR (MX(K) * MX(K) + MY(K) * MY(K)) 6520 IF V(K) = < lE - 3 THEN 6605 6530 TO(K) = T - DT : T1(K) = TO(K) + (2*V(K) (7*G*F)) 6540 UX(K) = MX(K)/V(K):UY(K) = MY(K) V(K) 6550 X0(K) = XB(K):YO(K) = YB(K) 6560 RETURN b-mouvement sans glissement 6600 GX(K) = GX(K) - G*F* (71(K)-TO(K)) *UX(K) : GY(K) = GY(K) - G*F* (T1(K)-TO(K)) ILUY(K) 6605 MT(K) = 2 6610 V(K) = SQR (GX(K) * GX(K) + GY(K) * GY(K)) : UX(K) = GX(K) V(K):UY(K) = GY(K)/V(K) 6620 TO(K) = T - DT : T1(K) = TO(K) + V(K)/(FR * R) 6630 X0(K) = XB(K):YO(K) = YB(K) : RETURN c-arrêt de la boule 6700 MT(K) = 0 : RETURN Sous-programme de test d'impact et de tracé de position 8000 IF XB(K) < R AND FC < > 1 THEN XB(K) = R : GOTO 9000 8005 IF XB(K) > LX - R AND FC < > 2 THEN XB(K) = LX - R : GOTO 9100 8010 IF YB(K) < R AND FC < > 3 THEN YB(K) = R : GOTO 9200 8015 IF YB(K) > LY - R AND FC < > 4 THEN YB(K) = LY - R : GOTO 9300 8020 FOR I = 1 TO 3 8030 IF I = K GOTO 8100 8040 DX = XB(I) - XB(K):DY = YB(I) - YB(K) 8050 IF DX*DX+DY*DY <= 4*R*R AND FC < > 2+I+K THEN GOTO 9400 8100 NEXT I 8110 HPLOT XB(K),YB(K) 8115 IF FC < 5 THEN FC = 0 8116 IF FC > 5 THEN BC = BC + 1 8117 IF FC > 5 AND BC = 3 THEN BC = 0:FC = O 8120 RETURN Sous-programmes de traitement des rebonds a-rebond sur le coté gauche 9000 J = K : GOSUB 6200:FC = 1:CX = - CR * GX(K) 9005 CM = GY(K) - R * OZ(K) : IF CM < > 0 THEN CM = - CM/ABS (CM) 9010 CY = GY(K) - CM * FB * GX(K) * (1 + CR) 9020 CO = OZ(K) + 2.5 * CM * FB GX(K) (1+E)/R 9030 IF (GY(K)-ReZ(K)) $ (CY-R*C0) > 0 THEN 9060 9040 CY = (5 GY(K) + 2 * R * OZ(K))/7 9050 CO = CY/R 9060 GX(K) = CX:GY(K) = CY : OZ(K) = CO:0Y(K) = 0 : MT(K) = 3 : GOTO 6500 b-rebond sur le coté droit 9100 J = K : GOSUB 6200:FC = 2:CX = - CR * GX(K) 9105 CM = GY(K) + R OZ(K) : IF CM < > 0 THEN CM = - CM/ABS (CM) 9110 CY = GY(K) + CM * FB * GX(K) * (1 + CR) 9120 CO = OZ(K) + 2.5 CM * FB GX(K) (1+E)/R 9130 IF (GY(K)+R*OZ(K)) * (CY+RXCO) > 0 THEN 9160 9140 CY = (5 t GY(K) - 2 * R * OZ(K))/7 9150 CO = - CY/R 9160 GX(K) = CX:GY(K) = CV : OZ(K) = CO:OY(K) = 0 : MT(K) = 3 : GOTO 6500 c-rebond sur le haut 9200 J = K : GOSUB 6200:FC = 3:CY = - CR GY(K) 9205 CM = GX(K) + R OZ(K) : IF CM < > 0 THEN CM = - CM/ABS (CM) 9210 CX = GX(K) - CM * F8 GY(K) (1 + CR) 9220 CO = OZ(K) - 2.5 * CM * FB t GY(K) * (1+E)/R.•1• SCIENCE & VIE MICRO N°24• JANVIER 1986 65 SCIE,,CE VIE JlllCRO " 0 24• JAIWJER 1986 6510 V + MV 1 THEN 8005 8010 8015 8020 8030 8040 8050 8100 8110 8115 8116 8117 8120 9000 9005 9010 9020 9030 9040 9050 9060 9100 9105 9110 9120 9130 91 40 9150 9160 9200 9205 9210 9220 XB< Kl = R : GOTO 9000 IF XB LX - R AND FC < > 2 THEN XB< Kl = LX - R : GOTO 91 00 IF VB 3 THEN VB LY - R AND FC (> 4 THEN VB = LV - R : GOTO 9300 FOR I = 1 TO 3 IF I = K GOTO 8100 DX = XB 2+1+K NEXT I GOTO 9400 HPLOT XB 5 THEN BC = BC + 1 IF FC > 5 AND BC = 3 THEN BC = O:FC = 0 RETURN Sous-programmes de traitement des rebonds a-rebond sur le coté gauche J = K : GOSUB 6200:FC = 1:CX = - CR l SX(Kl CM= GV 0 THEN CM = - CM I ABS CCMl CV= GVCKl - CM l FB l GX l (1 + CRl CO = OZ 0 THEN 9060 CV= (5 l GV + 2 l R * OZ = CO:OV = 3 : GOTO 6500 b-rebond sur le cote droit J = K : GOSUB 6200:FC = 2:CX = - CR l GX CM= GV 0 THEN CM = - CM I ABS CV = GV(Kl + CM l FB l GX i Cl+El/R IF +RlOZC Kll l 0 THEN 9160 CV= (5 l GVCKl - 2 l R. l OZ/7 CO = - CV/R GX = CX:GV< K> =CV : OZ CM = GX + R * OZ : IF CM < > 0 THEN CM = - CM/ABS - 2.5 l CM l FB l GV



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