SVM n°23 décembre 1985
SVM n°23 décembre 1985
  • Prix facial : 18 F

  • Parution : n°23 de décembre 1985

  • Périodicité : mensuel

  • Editeur : Excelsior Publications

  • Format : (203 x 280) mm

  • Nombre de pages : 204

  • Taille du fichier PDF : 235 Mo

  • Dans ce numéro : Exel... le Macintosh explose.

  • Prix de vente (PDF) : gratuit

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les points s'accumulent que le dessin se forme. Si vous changez les conditions initia les, c'est-à-dire les populations de chats et de souris au départ, sauf cas exceptionnels, vous obtiendrez le même attracteur, mais les points apparaîtront dans un ordre différent. Pus surprenant encore, si vous agrandissez une zone du dessin pour mieux voir le tracé de la• courbe•, vous vous apercevez que ce qui semblait être un trait se dédouble en fait en deux traits parallèles très proches. Si vous agrandissez encore, chaque trait se dédouble encore et encore (fig. 5) et ce, jusqu'à l'infini si vous pouviez poursuivre l'analyse. Ce qui semblait être une simple courbe est donc une structure étonnamment complexe analogue aux fractales de Benoît Mandelbrot (c'en est une d'un type particulier). Un modèle adaptable Ce modèle que nous avons adopté pour les chats et les souris est évidemment discutable, d'une part dans le choix des équations, mais surtout par le fait que nous avons coupé le temps en rondelles d'un mois, sans étudier le phénomène dans sa continuité. Pour des chats et des souris, c'est un peu exagéré, mais cela se justifie tout à fait pour d'autres couples proie-prédateur, par exemple chez des insectes ayant un cycle de reproduction annuel bien réglé sur les saisons. Il est alors légitime de ne regarder les populations qu'une fois par cycle, puisque toutes les naissances sont, grosso modo, synchronisées. Où rencontre-t-on des attracteurs étranges ? Dans beaucoup de systèmes où des fonctions du type des figures 1 ou 2 sont itérées sur elles-mêmes pour décrire l'évolution d'un phénomène au cours du temps, mais aussi dans des systèmes continus. Si, XrX. es (1 - X)X., = M.y ; +x1 figure4 Equations du modèle chats-souris X représente le nombre de souris (en milliers), Y le nombre de chats (en centaines), M le nombre maximum de souris qu'un chat souhaite avaler en un mois (en dizaines), R et S sont les taux de croissance de chacune des populations. figures Plus on regarde en dét ; iil la structure de l'attracteur et plus celle-ci semble comple.xe, chaque• trait• se dédoublant à l'infini. C'est ce que montrent les agrandissements successifs de l'attracteur obtenu pour les valeurs suivantes des paramètres : Taux de croissance des souris : R = 2, 7 5 Taux de croissance des chats : S = 1 Ration de souris par chat : M = 40 La première Image a été obtenue avec une fenétre de O à 40 chats p6ur 0 à 2 500 souris. Le facteur total d'agrandissement entre la première et la sixième image est de l 000 fols. Bien entendu, plus on agrandit, plus le temps de calcul est long : si la l" image a été obtenue en quelques secondes, li a fallu plus d'une nuit de calcul à un Apple Il pour générer la dernière. 102 par exemple, on observe les courants de convection dans une casserole pleine d'eau chauffée par-dessous, si la température de chauffage est modérée, on observe l'appari tion d'un tourbillon stationnaire ; si on aug mente la température, ce tourbillon se dédouble pour donner deux tourbillons, qui se dédoublent à leur tour pour en donner quatre, et ainsi de suite. Au-delà d'une certaine tem pérature critique, il n'y a plus de tourbillons stables, mais un écoulement turbulent apparemment chaotique. C'est un phénomène très proche des attracteurs étranges, et un certain nombre de para mètres mesurés dans la réalité pour les écou lements turbulents se rapprochent de façon très étonnante des constantes observées pour des systèmes du type chats-souris. Autre point commun étonnant entre l'attracteur POURALLBR PLUS WIN On peut imaginer d'autres types d'équations engendrant d'autres familles d'attracteurs. Un attracteur très connu des mathématiciens est celui de Michel Henon qui est engendré par les équations suivantes : 2 x 1 + 1 = l+y-M.x 1 Y1+1 =0,3.xt où M est un paramètre variable. Pour rester dans les souris, on. peut imaginer qu'au lieu d'être mangées par les chats, celles-ci sont en compétition avec des rats pour les sources de nourriture. Si x est la population des souris et y celle des rats, alors on peut décrire le système par les équations suivantes : x 1 + 1 = x 1. exp (R. (1-x 1 -A.y 1)) Y 1 + 1 = y 1• exp (S. (1-y 1 - B.x 1)) où R et S sont les taux de croissance de chaque espèce et A et B des facteurs qui déterminent combien chaque espèce empiète sur les ressources et l'espace vital de l'autre. Ces quelques références pourront éventuelle ment permettre aux fanatiques d'en savoir plus : -• le désordre n'existe pas•, S. Ortoli. Science & et Vie n°773, Février 1982, pages 2225. -• Simple mathematical models with very complicated dynamics•, Robert May (1976), Nature 261, pages 459467. -• Biological Populations with Nonoverlap ping Generations : Stable points, stable cycles and chaos•, Robert May (1974), Science 186, pages645-647. (• Nature• et• Science• sont deux revues anglo-saxonnes que l'on peut consulter dans la plupart des bibliothèques scientifiques). -• lterated maps on the interval as dynamical systems de P.Collet et J.P. Eckman (1980) chez Birkhauser, Boston. SCIE"CE at VIE JlllCRO " 0 23 - DECEJllBRE 1985
chats-souris et les écoulements turbulents. une modification infime de la situation de départ modifie radicalement lévolution à long tenne du système. C'est ce qu'un météorologiste a appelé l'effet papillon•, la perturbation apportée à l'atmosphère par le batte ment des ailes d'un papillon suffisant à en modifier le devenir. Pour commencer à explorer le monde des attracteurs étranges, il suffit d'une calculette programmable, par exemple pour étudier les itérations de la fonction f (x) = a.x. (1-x) en fonction des valeurs de a. Pour les attracteurs à deux paramètres comme celui des chats et des souris, il est préférable de disposer d'un ordinateur doté de possibilités graphiques afin de voir le bassin de l'attracteur se dessiner sur l'écran. Le programme Chats.l• est une version très simple pour Apple Il dans laquelle il vous suffira de remplacer l'instruction HPLOT x, y de l'Apple (ligne 10.30) qui trace un point aux coordonnées x, y par l'instruction graphique correspondante sur votre machine. Le programme Chats 2• est un programme tout à fait spécifique de l'Apple Il, beaucoup plus difficile à transposer. Il pennet de• zoo mer• sur une partie du tracé pour agrandir un détail. Pour ce faire, on interrompt le pro gramme en tapant sur n'importe quelle tou che. Un curseur graphique apparaît alors. il suffit de le déplacer à l'aide des manettes de jeu pour pointer sur la zone choisie et d'ap puyer sur le bouton des manettes. Le pro gramme vous demande alors le facteur d'agrandissement désiré puis redémarre sur la région sélectionnée. Frédéric NEUVILLE ClfATS2 ! ni tialisation, saisie des paramètres GOSUB 2000:MX = 300 : MY = 20 : DX = O : DY = 0 5 TEXT : HOME 10 INPUT "TAUX DE CROISSANCE DES SOURIS " ; R 20 INPUT "TAUX DE CROISSANCE DES CHATS " ; S 30 INPUT "RATIONS DE SOURIS/CHAT " ; M : M = M I 10 40 PRINT INPUT "NOMBRE DE CHATS AU DEPART y = y I 100 5û PRINT I NPUT "NOMBRE DE SOURIS AU DEPART X = X I 1000 60 HGR : HCOLOR= 3 Tracé et calcul du point suivant. 100 GOSUB 1000 110 Xl X l X I 127 THEN GOTO 200 Si non continuer 150 GOTO 100 Si oui determiner les nouveaux paramèt res 200 GOSUB 3000 2 10 HOME : VTAB 22 : INPUT "FACTEUR D'AGRANDISSEMENT " ; FA 220 DX = 140 - FA t 230 DY = (160 +DY - YY> l FA - 80 SCIENCE lit VIE MICRO N°23 DECEMBRE 1985 figure6 Les variations Importantes de la forme de l'attracteur en fonction de modifications légères des paramètres. Ici. on a fixé le taux de croissance des chats à 21 et la ration mensuelle de souris avalées par chaque chat à 40, tandis qu on fait varier R, le taux de croissance des souris. Les cinq Images correspondent aux valeurs suivantes de R : 2, 7 ; 2, 75 ; 2,8 ; 2,85 et 2,9. " : Y : " ; X : 240 MX = FA t MX 250 MY = FA l MY 260 HGR : GOTO 100 Sous-progr amme det r acé 1000 XP = MX t Y + DX:YP = 160 + DY - MY * X 10 10 IF XP > 279 OR XP < 0 THEN 1050 1020 IF YP > 191 OR YP < 0 THEN 1050 1030 HPLOT XP,YP 1050 RETURN Sous-programme d'initialisation de la "shape" du curseur graphique. 2000 FOR I = 1 TO 12 : READ R : POKE 767 + I,R : NEXT I 2010 POKE 232, 0 : POKE 233, 3 2015 ROT= 0 : SCALE= 1 2020 RETURN Table de codage binaire du curseur graphique. 2030 DATA 1,0,4,0,41,31, 32, 21 4, 11 1, 50,4,0 Lecture de la position des manettes de jeu. 3000 XX = PDL > 127 THEN RETURN 3060 GOTO 3000 103



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