SVM n°23 décembre 1985
SVM n°23 décembre 1985
  • Prix facial : 18 F

  • Parution : n°23 de décembre 1985

  • Périodicité : mensuel

  • Editeur : Excelsior Publications

  • Format : (203 x 280) mm

  • Nombre de pages : 204

  • Taille du fichier PDF : 235 Mo

  • Dans ce numéro : Exel... le Macintosh explose.

  • Prix de vente (PDF) : gratuit

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tion du nombre x de souris au mois de jan vier, et ainsi de suite. Cette fonction doit avoir certaines propriétés très simples : - li ne peut y avoir un nombre négatif de souris, donc f (x) doit être positif. - Si au mois de janvier, il y a zéro souris, il n'y en aura pas non plus au mois de février, la génération spontanée étant exclue. Donc f(O)=O. - Si au mois de janvier on introduit des dizai nes de milliers de souris, à tel point qu'elles soient serrées les unes contre les autres ; la famine et le manque d'espace vital les tueront presque toutes. Cela se traduit par f (x) = O pour x très grand. - Entre x = 0 et x très grand, pour lesquels f (x) = 0, il doit y avoir un maximum, c'est-à dire un nombre de souris engendrant une a/4 latrice programmable suffit : vous program mez la fonction f (x), vous introduisez la popu lation de départ et vous appuyez sur la touche activant la fonction un grand nombre de fois. Qu'observez-vous alors ? Plusieurs compor tements sont possibles. Tout dépend de la valeur du paramètre a dans le cas de la para bole (fig. 1) ou du paramètre r dans le cas de l'exponentielle. Ces deux paramètres mesu rent le taux de croissance de la population de souris : plus ils sont élevés, plus elles se reproduisent vite. Pour des faibles valeurs de a our (a<3 ou r<2), la population de souris évolue vers une situation stable (fig. 1), où la natalité compense exactement la mortalité ; on dit alors que ce point stable est un attracteur• du système. Puis, lorsque a our aug mentent (a>3 ou r> 2), cette position stable figure 1 Parabole d'équitation A.X. (1-X). En partant d'une valeur initialeX, on obtient une valeur X qui donne â son tour une valeur X et ainsi de suite. On constate que dans l'ensemble présenté, les itérations convergent vers une valeur qui correspond â l'intersection de la courbe avec la diagonale principale. progéniture maximale. Au-delà de ce nombre, la surpopulation engendre une mortalité éle vée, en deçà, le faible nombre de souris n'en gendre pas autant de descendants. En résumé, la fonction donnant le nombre de souris d'un mois sur l'autre doit avoir une forme errcloche, comme sur les figures 1et2. Plusieurs possibilités sont envisageables, la plus simple est la parabole (fig. 1) : f (x) = a.x. (1-x). Dans les traités de biologie des popula tions, plus conformes à la réalité, on trouve des fonctions du type f (x) = x. exp (r. (1-x)) (fig. 2) où exp désigne la fonction exponen tielle. On se pose maintenant la question sui vante : qu'arrive-Hl à notre population de souris au bout d'un grand nombre de généra tions ? Trouver la réponse est simple, il suffit de répéter le calcul de la fonction f (x) en utilisant à chaque étape le résultat du calcul précédent comme valeur de x. li n'y a même pas besoin d'ordinateur pour cela, une calcu 100 figure2 Evolution d'une population en espace limité. Cette fonction permet de calculer la population x â l'instant t + 1 en fonction de la population x â l'instantt. Dans le cas d'une population vivant sur des ressources limitées, la fonction ci-dessus est une meilleure représentation de la réalité que la parabole de la figure 1. Comme pour elle, pour des faibles valeurs de R, la population converge vers un point stable Xm, situé â l'intersection avec la diagonale principale. se débouble pour donner un cycle oscillant entre deux états. Un petit nombre de souris ayant une nourriture abondante a une des cendance nombreuse : elle donne ainsi nais sance à une population importante, qui se trouve alors sous-alimentée, et meurt en masse. On revient alors à la population faible de départ. L'attracteur du système est alors un cycle de période 2. Lorsque a our augmen tent encore, ce cycle à 2 états se dédouble pour donner un cycle à 4 états, DUis 8, 16, 32 états et ainsi de suite. Lorsque a our atteignent une valeur critique (a= 3,5700 our = 2,6924), le nombre de souris suit un comportement chaotique où tout cycle dispa rait. Pourtant, il ne prend pas des valeurs au hasard ; il est attiré vers un ensemble d'états qui constituent ce que l'on appelle un attracteur étrange., notion sur laquelle nous revien drons plus loin. Pour a our encore plus grands (3,57 2,6924) on observe des comportements erratiques, où des cycles de périodes diverses alternent avec des évolu tions chaotiques. li est remarquable de constater que ces comportements très complexes sont obtenus à partir de systèmes et d'équa tions très simples. Equations pour suroivre Ce type de comportement très étonnant est encore plus remarquable lorsque l'on s'inté resse à des systèmes comportant plusieurs variables. Supposons qu'un gardien bien in tentionné décide, pour lutter contre la popula tion envahissante de souris, de lâcher quel ques chats dans les caves. Les chats mangent les souris et se reproduisent, et les souris mangent les déchets et se reproduisent égale ment. Intuitivement, on comprend que plus il y a de souris, plus il y a à manger pour les chats, qui se reproduisent alors plus vite ; il y a alors davantage de chats, qui réduisent la population de souris. Les chats meurent alors de faim et les souris prolifèrent à nouveau. Pour étudier plus en détail cette évolution, et pour déterminer si les deux populations évoluent vers une situation d'équilibre, il faut se donner un, modèle de calcul. Pour les souris, on prendra une équation du type f (x) = x. exp (r. (1-x)) (fig. 2), à la différence près qu'on substituera au nombre total x de souris, le nombre de souris ayant échappé aux chats. li faut donc calculer le nombre de souris man gées en un mois par les chats en fonction du nombre x de souris et du nombre y de chats. Première certitude : les chats ne peuvent pas manger plus de souris qu'il n'y en a au départ. D'autre part, l'appétit de chaque chat étant limité, on considère qu'il est rassasié une fois qu'il a mangé un certain nombre m de souris. Le nombre de souris mangées est donc néces sairement inférieur ou égal à x, le nombre total des souris, et àm.y, la ration totale de la population de chats. La fonction de 1 3 figure 3 répond à ces deux contraintes et nous l'adopterons pour calculer le nombre de souris victi mes de chats. Pour clore, il nous faut étudier l'évolution du nombre y de chats. Nous pren drons une fois encore une fonction du type f (y) =y.exp (s. (1-y)), à ceci près que nousia SCIEl'ICE VIE JlllCKO 1'1° 23 DECEJllHKE 1985
1'modifierons par un coefficient fonction de la ration de souris mangée par chaque chat : plus elle sera proche de l'optimumM, plus la population résultante de chats sera importante. Nous voici au bout de nos efforts, puisque nous pouvons maintenant écrire les deux équations de la figure 4 qui décrivent l'évolution du nombre x de souris et du nombre y de chats. Si vous n'avez pas tout suivi, il vous suffit de nous croire sur parole et d'admettre qu'elles traduisent bien l'idée intuitive : Plus il y a de souris, plus il y a de chats et plus il y a de chats, moins il y a de souris.• Ces équa- Souris mangées My/,,, , , , , , , , , , , , , ,, reproduction des souris, S, le taux de reprosouris mangées,'figure3 lions ne constituent pas le seul modèle possible, mais un autre système donnerait cependant des résultats analogues à ceux que nous allons décrire. La population de demain Ainsi parés de nos deux équations, nous pouvons maintenant simuler l'évolution de nos populations. Comme dans le cas des souris seules, des paramètres importants interviennent dans nos équations. Ceux-ci sont maintenant au nombre de trois : R, le taux de X l+ X M.y Nombre de souris mangées en fonction du nombre X de souris, du nombre Y de chats et de la ration optimale M de chaque chat. CHATSl 5 10 20 30 40 50 55 60 100 110 120 130 Définition de la taille de l'écran pour un Appl e II : 279> : 191 -\XM = 279 : YM = 191 r : },eJl. Ef f acement de l'écran TEXT : HOME Saisie des paramètres r\b,., ? ? x\bt an' ? e>\:).ô'"J ? :.9INPUT "TAUX DE CROISSANCE DES SOURIS " ; R INPUT "TAUX DE CROISSANCE DES CHATS " ; S INPUT "RATIONS DE SOUR IS/CHAT M = M I 10 u ; M : PRINT : INPUT "NOMBRE DE CHATS AU DEPART y = y/1000 -'(aCI " ; Y : PRINT : INPUT "NOMBRE DE SOUR IS AU DEPART " ; X : X = X/100 GOSUB 2000 Initialisation du mode graphi que HGR : HCOLOR= 3 Tracé, affichage et calcul de l a nouvelle situat ion. GOSUB 1000 : GOSUB 1500 XI = X i X/IX + M t YI : X 1 = X 1 t EXP IR i i 1 - X 1) l Y 1 = Y t 1 X/1 X + M i Y l 1 t EXP 1 S t 1 1 - Y) l X = Xl:Y = YI : GOTO 100 SCIENCE lt VIE MICRO N°23 DECEMBRE 1985 X duction des chats et M la ration optimale en souris de chaque chat. Si, par exemple, on fixe M et S, les paramètres des chats, à 40et1 respectivement, et que Ion fait varier R, la vitesse de reproduction des souris, on observe le même type de phénomène que pour les souris seules. Pour des faibles valeurs de S (<2 ou 2,5 environ), il y a convergence vers un point fixe : les chats mangent les souris aussi vite qu'elles apparaissent, et cela suffit juste à maintenir leur population. Puis, lorsque R augmente, ce point fixe se dédouble pour donner un cycle oscillant entre 2 configurations, puis 4, puis 8, etc. Toujours pour M fixé à 40 et S à 1, lorsque R franchit une valeur critique située entre 2,6 et 2,7, on perd toute convergence vers une situation stable ou oscillante. Que se passe-t-il alors ? Pour le savoir, il faut tracer les positions x, y des• états• successifs de nos deux populations sur un plan et examiner le dessin obtenu. Oh, surprise ! Les points ne se répartissent pas du tout au hasard, et, après quelques générations, les points dessinent une sorte de courbe dont la forme et les circonvolutions dépendent de façon très sensible des valeurs de trois paramètres (fig. 6). Cette courbe (le terme est impropre), constitue ce que les mathématiciens appellent un attracteur étrange. Attracteur, car c'est vers des points situés sur cette courbe que sont attirées nos populations de chats et de souris. Etrange, car c'est un objet à la fois déconcertant et fascinant. Première bizarrerie, l'attracteur ne se dessine pas sur l'écran de façon continue, comme ce serait le cas d'un tracé au crayon. Au contraire les points apparaissent au hasard, éloignés les uns des autres, dans un ordre apparemment incohérent, tant et si bien qu'au début du tracé, on ne distingue qu'un nuage de points. Ce n'est que petit à petit que Sous-programme det r acage du point. 1000 XP = MX i Y + DX:YP = YM + DY - MY i X 1010 IF XP > XM OR XP < 0 THEN 1050 1020 IF YP > YM OR YP < 0 THEN 1050 1030 HPLOT XP,YP : REM Ins t ruction de tracé en XP, YP 1050 RETURN Sous-programme d'aff ichage de la situation 1500 VTAB 21 : REM Posi t ionnement sur la 21e ligne écran 1510 PR INT "NOMBRE DE SOURI S " ; X i 1000 ; " " : PRINT "NOMBRE DE CHATS " ; Y t 100 ; " " : RETURN Sous-programme de saisie de la fenetr e d'affichage et de calcul des parametres d'echelle. 2000 PR I NT : PRitH "DEF INITION DE LA FÈNETRE D'AFFICHAGE" 20 10 PRINT : PRINT "EN X AFFICHAGE DES CHATS ENTRE " : INPUT "NBRE DE CHATS MIN : " ; YO : INPUT "NBRE DE CHATS MAX : " ; Y ! 2020 PRINT : PRINT "EN Y AFFICHAGE DES SOURIS ENTRE" : INPUT "NBRE DE SOUR IS MIN : " ; XO : INPUT "NBRE DE SOURIS MAX : " ; X ! 2025 XO = XO I 1000:X1 = X ! /1000 : YO = YO/100:Y1 = Y ! /100 2030 MX= XM/IY ! - YOl:MY = YM I IX ! - XO I 2040 DX = - XM t YO/iY ! - YOI : DY = YM * XO I IX ! - XOI 2050 RETURN 101



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