Micro Systèmes n°34 septembre 1983
Micro Systèmes n°34 septembre 1983
  • Prix facial : 25 F

  • Parution : n°34 de septembre 1983

  • Périodicité : mensuel

  • Editeur : Société Parisienne d'Edition

  • Format : (203 x 271) mm

  • Nombre de pages : 422

  • Taille du fichier PDF : 325 Mo

  • Dans ce numéro : spécial guide du nouvel utilisateur de micro-ordinateurs.

  • Prix de vente (PDF) : gratuit

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Encadré 1 ANALYSE MATHEMATIQUE L'équation différentielle du second ordre à différents 2'cas  : D < 0 coefficients constants  : AY" + BY'+ CY = 0 (1) admet une solution générale, qui dépend des racines de l'équation caractéristique  : Ar'+ Br + C = 0 (2) Soit D le discriminant de cette équation D = B2 - 4 AC Trois cas peuvent se présenter  : 1'cas  : D > 0 L'équation (2) admet deux racines réelles négatives  : rl = et r2 = - B+VD 2A - B-VD 2A La solution générale de l'équation (1) est  : Y = d em c2ent cl et c2 étant des constantes arbitraires que l'on détermine à partir de la connaissance des valeurs initiales Y(0) et Y'(0). Posons  : Y(0) = Yo Y'(0) = Wo soit c 1 - Wo - Yo r2rl - r2 et c2 = Yo - cl cl + c2 = Yo clrl + c2 r2 = Wo L'équation (2) admet deux racines complexes guées  : rl = r + iW r2 = r - iW avec r = - B 2 A et W - VT:TY A La solution générale de l'équation (1) est  : Y = (cl sin Wt + c2 cos Wt)• en La détermination des constantes cl et c2, à partir des conditions initiales, donne  : 3'cas  : D = 0 c2 = Yo Wo - rYQ L'équation (2) admet une racine double  : -B r = 2A La solution générale de l'équation (1) est  : avec  : cl - Y = (clt + c2)• en c1 = Wo - rY0 c2 = Yo conju- Remarque générale  : Si au temps t = 0, nous avons simultanément Yo = 0 et Wo = 0, nous aurons, pour les trois cas analysés précédemment, Y = 0, quel que soit le temps t considéré. D > 0 Si cl• c2 < 0 - c2• r2 Log (cl•rl tr,, =rl - r2 Ym = f (tm) D = 0 D < 0 Si cl• c2> 0 tin = 0 Y„, = Yo tm - Y,,, = f (t„,) -cl + r• c2 r• cl Si B = 0 et Yo = 0 Sinon Y. = cl tm = r• c2 + W• cl Arctg (W• c2 - r• cl) Ym = f (t„,) Fig. 3. - Calcul des coordonnées (tm, Y,„) du point extremum Y„, selon le discriminant de l'équation différentielle. 338 - MICRO-SYSTEMES Nous choisissons, encore arbitrairement  : tf =t. + 3 T. Enfin lorsque D est négatif, Y= (c1• sin wt + c2• cos wt)• en. Nous définissons alors la pseudo-période  : P= 2• -IL Si l'on désire limiter l'étude à dix oscillations, nous aurons  : 20• ir tf = w Choix des facteurs d'échelle Horizontalement, la durée tf sera représentée par 310 points. Ainsi, une unité de durée correspondra à 4/310 points et une duréet par t 310 points. Ainsi le facteur d'échelle horizontal sera  : Kx =10 3 tf Verticalement, la valeur absolue de Y,,, (I Yr„I) sera représentée par 88 points, et Y par  : 88 iymi Y points Ceci implique un facteur d'échelle vertical égal à  : Ky = 88 Coordonnées d'un point dans le repère d'écran Compte tenu des définitions du repère d'écran et du repère (R) données précédemment, les formules de changement de repères sont  : XE = 4 + Kx• t YE = 100 - Ky• f(t) Le programme, dont on trouvera le listing complet figure 4, est très structuré, et des instructions REM permettent d'en suivrer aisément le déroulement. ■ Septembre 1983
LE PROGRAMME BASIC• Lignes 1000 à 1995  : affichage du titre du programme.• Lignes 2000 à 2995  : présentation du programme (son rôle et son fonctionnement).• Lignes 3000 à 3995  : entrée des différents paramètres caractérisant le système oscillatoire à étudier.• Lignes 4000 à 4995  : en fonction du discriminant de l'équation différentielle caractéristique, étude du régime approprié (fig. 5, 6 et 7).• Lignes 5000 à 5045  : calcul du point extremum Y., et des facteurs d'échelle Kx et Ky.• Lignes 5050 à 5180  : définition des caractères alphanumériques et des motifs utilisés dans l'affichage graphique haute résolu- tion. Cette section, destinée à permettre l'adjonction de commentaires aux courbes affichées, peut éventuellement être omise.• Lignes 5200 à 5410  : tracé, annotation et graduation des axes.• Lignes 5440 à 5480  : tracé du graphe Y = f(t) représentant la courbe des oscillations du système.• Lignes 7000 à 7270  : sortie du titre et du graphe affichés sur l'imprimante.• Lignes 8000 à 8090  : demande d'arrêt ou de continuation de l'étude. On observera le défilement de droite à gauche de la question  : APPUYEZ SUR UNE TOUCHE POUR CONTINUER t"rriTTTWTTITTTETTerr « 1155 [LIAI I ON5 IIBM'S I, I II I {:1 ION !, LA Bi,f_b r I TT YTTTTTTTT f TTTT f TT sr.e.eiletagMI:11 1i 1 sil:, I, -45 iallIMMAL41111C1ziq:PMe.*:1 e-igtilernuetelita7:timaiet4e1,. 1477794l,- 5.3478768 smanagutemassitteleu eunnutemmesuienixelf iraticammewmizimemagm 4eagnaimitagefflau ZEIMMIZILLIM 111.1 ; flzaMMIWI Fig. 5. — Courbe d'oscillations amorties. ; PTTTTTYTTYTTTTTTTI-PTTT OSE ILLAI IONS 1IBREC TTTTTTTTTTTTI.1ITTTTTI" Fig. 6. — Dans le cas d'absence d'amortissement, nous avons une courbe sinusoïdale. LES PRINCIPALES VARIABLES UTILISEES ejegilaairAMMI:1 » 1 « 1 El= 1,,.0.121011•WIMÉDIMOfflgiEl - 1,• n Mailleazielemf:Mixentiel3 zixstemfeeeiratocigniq arsirdelltellitalelexerf RË. ; =111101:11113.71. A,B,C  : coefficients de l'équation différentielle du second ordre. Y  : grandeur physique étudiée. Yo  : valeur de Y à l'instant t = 0. Wo  : valeur de dY/dt à l'instant t = 0. D  : discriminant de l'équation caractéristique. W  : pseudo-pulsation du phénomène (cas où D > 0). RI, R2  : racines de l'équation caractéristique. R  : racine double de l'équation caractéristique (cas où D = 0). Cl, C2  : constantes arbitraires déterminées à partir des conditions initiales. T  : temps. YM  : valeur extrémale prise par Y. Tm  : temps auxquels Y = YM. To  : laps de temps au terme duquel l'expression eRT est divisée par e (base des logarithmes népériens). TF  : durée d'étude du phénomène. Kx  : facteur d'échelle horizontal. Ky  : facteur d'échelle vertical. Fig. 7. — Un cas d'amortissements sans oscillation. Septembre 1983 MICRO-SYSTEMES — 339

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