Magazine Observatoire de Paris n°14 déc 11/jan-fév 2012
Magazine Observatoire de Paris n°14 déc 11/jan-fév 2012
  • Prix facial : gratuit

  • Parution : n°14 de déc 11/jan-fév 2012

  • Périodicité : trimestriel

  • Editeur : Observatoire de Paris

  • Format : (211 x 298) mm

  • Nombre de pages : 28

  • Taille du fichier PDF : 3,8 Mo

  • Dans ce numéro : vision d'avenir.

  • Prix de vente (PDF) : gratuit

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LES CINQ POINTS DE LAGRANGE pour un satellite artificiel placé dans le système Soleil-Terre./The five Lagrange points for an artificial satellite in the Sun-Earth system NASA/WMAP Science Team Contact Alain ALBOUY Chargé de recherche CNRS IMCCE + 33 (0)1 40 51 21 26 alain.albouy@obspm.fr 20 – MAGAZINE DE L’OBSERVATOIRE N°14/DÉCEMBRE 2011 IMCCE/RECHERCHE N CORPS : ET DE CINQ ! N-BODY PROBLEM : FIVE ! Le problème du mouvement d’un nombre quelconque « n » de corps matériels défie l’entendement des mathématiciens depuis près de trois siècles. Un chercheur de l’Institut de Mécanique Céleste et de Calcul des Éphémérides - IMCCE apporte sa pierre à l’édifice. Determining the motion of a given number of material bodies, the so-called « n-body » problem, has defied mathematicians for nearly three centuries. A scientist at the Institute for Celestial Mechanics and Computation of Ephemerides (IMCCE) adds his contribution to this collective effort. En science, il est des casse-têtes qui résistent des siècles. Des générations s’y frottent. Le problème du mouvement d’un nombre quelconque n de corps matériels en est un exemple emblématique. Isaac Newton (1642-1727) a, en effet, formulé les lois de la dynamique dès 1687. Depuis, la mécanique céleste adopte pour but de décrire la course des astres qui interagissent, à distance, sous l’effet de la gravitation et de leurs masses. La résolution reste valide et rigoureuse pour deux objets qui s’influencent mutuellement. Hélas les choses se gâtent vite dès que l’on considère 3, 4, voire 5 éléments. La diversité des trajectoires obtenues devient alors impossible à décrire avec les fonctions analytiques usuelles. Néanmoins : ne subsiste-t-il pas quelques orbites simples à exprimer ? Deux éminents mathématiciens du XVIII e siècle, Leonhard Euler (1707-1783) et Joseph-Louis de Lagrange (1736-1813) en sont convaincus. Et ils ont raison ! Euler découvre le premier équilibre relatif d’une petite masse qui se déplace autour de deux objets principaux tournant l’un autour de l’autre. C’est une solution particulière du problème des 3 corps. Lagrange trouve toutes les configurations. Elles sont cinq : les fameux 5 points de Lagrange, qui s’appliquent si bien aux systèmes Soleil-Jupiter, Soleil-Terre ou Terre-Lune notamment. L’un des défis du XXI e siècle Mais quid du problème général d’un plus grand nombre d’objets : les n corps ? En 1918, l’astronome français Jean Chazy (1882-1955), futur membre du Bureau des longitudes et de l’académie des sciences, va plus loin. Il met le doigt sur une difficulté imprévue. Le défi se révèle immense. Si bien qu’en 1998, il figure en 6 e place dans la liste des 18 problèmes à résoudre pour le XXI e siècle, selon l’Américain Stephen Smale. En 2004, nouvelle étape : une solution est apportée avec 4 corps. Puis, sur cette lancée, Alain Albouy de l’IMCCE et Vadim Kaloshin, de l’Université de Pennsylvanie (États-Unis), viennent aussi de fournir une réponse positive au cas des 5 corps : pour presque tout choix de masses, il existe un nombre fini de configurations d’équilibre. Ce résultat va paraître dans la revue Annals of Mathematics. Pour l’obtenir, les chercheurs ont fait appel à des méthodes originales et élégantes. Ils privilégient les calculs exacts aux simulations numériques. C’est donc une nouvelle contribution que l’équipe « astronomie et systèmes dynamiques » de l’IMCCE offre au problème des n corps. N’en doutons pas, il fera encore couler beaucoup d’encre... Selon Alain Albouy et Vadim Kaloshin, CES 16 DIAGRAMMES représentent tous les cas de figure du problème à 5 corps./According to Alain Albouy and Vadim Kaloshin, these 16 diagrams represent all possible cases of the 5-body problem. IMCCE/Observatoire de Paris In science, some puzzles remain unsolved for centuries, despite efforts of generations. The problem of determining the motion of n material bodies is an emblematic example of this. In 1687, Isaac Newton (1642-1727) formulated the laws of dynamics, after which celestial mechanics sought to describe the paths of celestial bodies interacting under the effect of gravity and their own masses. An exact solution was found for the case of two bodies interacting. However, things get messy when more bodies, 3, 4, or 5, enter the picture, as the various trajectories obtained become impossible to describe with the usual analytic functions. Nonetheless, it was considered possible that some simple orbits could be determined. Two celebratedeighteenth-century mathematicians, Leonhard Euler (1707- 1783) and Joseph-Louis de Lagrange (1736-1813), so believed. And they were right ! Euler discovered the first relative equilibrium of a small mass moving around two main bodies, one rotating around the other. It was a particular solution of the 3-body problem. Lagrange then found all possible configurations, the famous five Lagrange points, valid in particular for the Sun-Jupiter, Sun-Earth, and Earth-Moon systems. One of the challenges of the 21st century But what about the general n-body problem ? In 1918, the French astronomer Jean Chazy (1882-1955), who would later join the Office of Longitudes and become a member of the Academy of Sciences, went further. He discovered an unexpected difficulty that posed a formidable challenge. So much so that, in 1998, it occupied the 6th place on the list of 18 problems for the 21st century compiled by the American mathematician Stephen Smale. In 2004, there is a new development : a solution is found for four bodies. In the wake of this result, Alain Albouy from IMCCE and Vadim Kaloshin, of the University of Pennsylvania (USA), have just comeup with a positive answer for the 5-body case : for almost every choice of masses, there is only a finite number of equilibrium configurations. To obtain this result, which willappear in Annals of Mathematics, the authors resorted to some original and elegant methods. They favoured exact calculations over numerical simulations. It is a new contribution from IMCCE’s Astronomy and Dynamical Systems team to the solution of the n-body problem, and about which much willundoubtedly be written.
RECHERCHE/UFE L’UNIVERS EN ÉQUATION ! THE UNIVERSE IN EQUATIONS MAGAZINE DE L’OBSERVATOIRE N°14/DÉCEMBRE 2011 – 21 Comment faciliter l’apprentissage des mathématiques au niveau licence ? En jouant sur l’attractivité du ciel et... de l’astronomie. Tel est l’esprit du module didactique en ligne proposé par les professeurs de l’Unité Formation et Enseignement - UFE. How to make learning mathematics at the licence level easier ? By using the appeal of the sky and... astronomy. Such is the spirit of the online didactic module offered by UFE (Unité Formation et Enseignement) teachers. Les mathématiques entretiennent avec l’astronomie des liens très anciens qui remontent à leurs origines. Ces deux sciences se sont développées de manière conjointe et enrichies mutuellement. Pourquoi dès lors, ne pas utiliser l’Univers comme source d’exemples concrets afin de soutenir l’apprentissage des maths ? Des enseignants de l’UFE et de l’Université Lille 1 sont convaincus qu’il s’agit d’un excellent moyen de renforcer l’attractivité de la discipline aux yeux des étudiants. Avec cette philosophie, ils ont donc décidé de proposer le module en ligne L’astronomie dans l’apprentissage des mathématiques. Des étoiles plein les yeux « Nos premières réflexions ont démarré en 2008. Nous avons consacré la première année à déterminer le type de contenus que nous voulions construire. Nous avons alors choisi de suivre le programme de mathématique au niveau licence plutôt que d’adopter un plan spécifique qui suivrait les chapitres d’un module d’astrophysique », explique Alain Vienne, professeur à l’Université Lille 1, membre de l’Institut de Mécanique Céleste et de Calcul des Ephémérides - IMCCE, qui pilote ce projet à l’UFE. Le parti pris rend le contenu utilisable par les enseignants de mathématiques, public cible de l’équipe pédagogique. Depuis juin 2009, une soixantaine d’exercices leur étaient proposés dans la rubrique Astrophysique sur mesure du campus numérique de l’Observatoire de Paris. Le succès a été au rendez-vous : plus de 20 000 consultations enregistrées par mois ! « Aujourd’hui, nous couvrons tout le programme L1. Au L3 en revanche, certains points d’algèbre étaient insuffisamment abordés », constate Alain Vienne. Durant l’été 2011, une mise à jour a donc enrichi encore les contenus. Elle porte à 80 le nombre d’exercices proposés. Initiative inédite en son genre, le module permettra, peut-être, de susciter des vocations d’astronomes chez les férus de raisonnements. Plus généralement, il met la théorie en pratique à travers des applications. Grâce à lui, les futurs chercheurs « travaillent avec des étoiles plein les yeux » ! ASTROPHYSIQUE SUR MESURE./Astrophysique sur mesure (Madeto-Measure Astrophysics). LE FOND DIFFUS COSMOLOGIQUE : application en mathématiques des perturbations linéaires./Cosmic microwave background : a mathematical application of linear perturbations. NASA/WMAP Mathematics and astronomy have always been closely related. Both sciences developed simultaneously and enhance each other. Thus, the idea of using the Universe as a source of concrete examples to support mathematics learning. Teachers at UFE and the University Lille 1 believethis to be an excellent way to increase the student interest. Bearing this in mind, they decided to offer the Astronomy in Mathematics Learning online module. Eyes full of stars « We first considered this approach in 2008. During the first year, we determined the type of content we wanted to create. We then decided to follow the mathematics curriculum at the licence level, rather than adopting a specific plan based on the chapters of an astrophysics module », explains Alain Vienne, professor at the University Lille 1 and a member of the Institute for Celestial Mechanics and Computation of Ephemerides (IMCCE), who runs the project at UFE. The approach resulted in content that can be used by mathematics teachers, the pedagogical team’s intended audience. Since June 2009, some sixty exercises are available to them in the Astrophysique sur mesure (Made-to-Measure Astrophysics) section of the Campus numérique of the Observatoire de Paris. It was a total success : over 20,000 visits per month ! « At present, we cover the entire L1 program. On the other hand, in L3, some topics in algebra were not fully covered, » observes Vienne. During the summer of 2011, a revision was undertaken to improve the content even more. As a result, the number of exercises was increased toeighty. Who knows ? Thanks to this innovative initiative, some logic enthusiasts might develop a vocation for astronomy. More generally, it demonstrates how theory is put into practice through applications. Thanks to this project, future researchers « are working with their eyes full of stars ! ». media4.obspm.fr/public/MPA EXERCICE DE MATHÉMATIQUE proposé dans le module pédagogique en ligne : le calcul du mouvement de rétrogradation apparente de Mars dans le ciel. Durant une période particulière, la planète se déplace dans le sens inverse de celui du Soleil par rapport au fond des étoiles fixes./Mathematics exercise proposed on the online pedagogical module : computation of the retrograde motion of Mars in the sky. During a particular period, the planet appears to be traveling backwards (from east to west), relative to the fixed stars. UFE/Bessou Fouchard Contact Alain VIENNE Professeur à l’Université Lille 1 IMCCE +33 (0)1 40 51 22 74 +33 (0)3 20 60 54 61 alain.vienne@obspm.fr



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