Lion n°708 février 2018
Lion n°708 février 2018
  • Prix facial : gratuit

  • Parution : n°708 de février 2018

  • Périodicité : mensuel

  • Editeur : Lions Club International

  • Format : (200 x 270) mm

  • Nombre de pages : 50

  • Taille du fichier PDF : 4,4 Mo

  • Dans ce numéro : environnement et écologie.

  • Prix de vente (PDF) : gratuit

Dans ce numéro...
< Pages précédentes
Pages : 34 - 35  |  Aller à la page   OK
Pages suivantes >
34 35
Savoir - Sciences.34//Lion édition française - N°708 La plus belle conjecture de l’histoire par Armand Herscovici En mathématiques, on appelle conjecture une règle qui n’a pas été prouvée, qui n’est donc pas devenue un théorème. On l’a vérifiée sur beaucoup d’exemples, mais pas sur tous. Aussi, on n’est pas sûr qu’elle soit toujours vraie. Et alors ? Ô surprise, un tel sujet, qui évoque le spectre froid des mathématiques, peut déchaîner des passions ardentes, et cela durant des siècles. C’est ce qu’il advint de la conjecture de Fermat. Il s’agit de maths, mais la recherche éperdue d’une solution transforma un simple problème de réflexion en une aventure échevelée pleine d’humanité brûlante. Un véritable thriller. Tout commence par le théorème du sinistre - pour certains - Pythagore. Dans l’antiquité, beaucoup de peuples faisaient appel aux trois chiffres 3, 4 et 5. En effet, en prenant un bâton de 3 (mètres ou centimètres, ou autre unité de longueur), un autre de 4, un troisième de 5, et en les arrangeant en triangle comme dans le dessin ci-dessous, on obtient un triangle rectangle, c'est-àdire pourvu d’un angle droit. Dans l’Égypte ancienne, où le Nil abattait les clôtures à chaque crue, on utilisait le triangle 3-4-5 pour les reconstruire bien perpendiculaires. Or, une formule remarquable relie 5 4 ces trois chiffres. Laquelle ? Peut-être avez-vous gardé le vague souvenir que 3 x 3, égal à 9, peut s’écrire 3² (on dit trois au carré). De même, 3 x 3 x 3 s’écrit 3 3 (on dit trois au cube). Et ainsi de suite quand il s’agit de multiplier 3 par lui-même 4 fois, 5 fois, etc. Or, constatation stupéfiante, il se trouve que 3² + 4² = 5² (9 + 16 = 25). C’est là qu’intervient l’infâme Pythagore. Il a démontré (ce n’est donc pas une conjecture, mais un théorème) que si, à l’instar de 3,4,5, trois nombres a, b, c vérifient la formule a² + b² = c², ils constituent les côtés d’un triangle rectangle. C’est 3 1/PIERRE DE FER MAT 16°1 1665 et a le théorème de Pythagore. Il existe une infinité de tels triplets (5-12-13, 7-24-25, etc.) Ah… Que les mathématiciens sont bizarres ! L’idée étrange leur est venue de se demander s’il existait trois nombres a, b, c tels que a 3 + b 3 = c 3. Même question pour a 4 + b 4 = c 4, et pour la suite jusqu'au jugement dernier. Voilà qu’apparaît Pierre de Fermat. Ce magistrat s'intéressait en amateur aux mathématiques. Oui, ça existe ! Il est connu pour son grand théorème, qui, d’ailleurs, n’est pas un théorème, mais une conjecture. À l’en croire - ffirepyr et d 0,69  € 'n'a pas de solueion pour des entzers fx-›— 2 = 1 d -414.11Lillue.d11-0-41LAL-OulueuiluilulLauluILAILAILILALAILAILAILAILis-0
il l’a affirmé, mais pas démontré - il n’existe pas de nombres a, b,c, tels que a 3 + b 3 = c 3, pas plus que a 4 + b 4 = c 4 ou plus. Seul a 2 + b 2 = c 2 peut se rencontrer. L’affaire aurait pu s’arrêter là. Mais, en 1637, le bougre écrivit dans la marge d’un livre passionnant qu’il lisait - arithmetica de Diophante - la phrase suivante  : "j'en ai découvert une démonstration véritablement merveilleuse que cette marge est trop étroite pour contenir". Saperlotte ! Il venait de lancer le plus fantastique défi de mémoire de mathématicien. Car si la formulation de la conjecture est simple (seul a 2 + b 2 = c 2 peut exister), sa démonstration se révéla d’une difficulté inouïe, résistant pendant des siècles aux efforts frénétiques des plus grands à la recherche éperdue - et vaine - de la démonstration véritablement merveilleuse. Le cas de n = 4 (a 4 + b 4 = c 4) fut réglé par Fermat lui-même. Il fallut attendre le 4 août 1753 pour que le grand Euler, l’un des plus brillants mathématiciens du siècle, déclare avoir résolu le cas de n = 3 (a 3 + b 3 = c 3). Hélas, il y avait une erreur, mais qui fut vite corrigée. Ouf ! Aux environs de 1801, Sophie Germain, la mathématicienne qui se prétendait homme pour pouvoir dialoguer avec les savants de son temps, découvrit une catégorie de nombres pour lesquels la conjecture était vérifiée. Le cas de n = 5 fut réglé en 1825 par Dirichlet, puis celui de quelques autres nombres en septembre de la même année par Legendre. En 1839, Dirichlet résolut le cas de n = 14. Mais il ne s'agissait que de quelques cas, pas de tous. La conjecture n’était toujours pas devenue théorème. Fermat devait beaucoup s’amuser dans sa tombe. Le 1er mars 1847, Lamé annonça à l'Académie des sciences de Paris qu’il avait démontré le grand théorème. Hélas, une erreur cachée fut décelée. Quelques semaines plus tard, le dénommé Wantzel prétendit lui aussi avoir réussi. Encore une erreur. Depuis longtemps, l'Académie des sciences avait créé un prix pour honorer le découvreur de la bonne démonstration. Hélas, rien ne venait. En désespoir de cause, elle le décerna à un certain Kummer qui avait réalisé une avancée importante. Mais incomplète. Des récompenses de plus en plus élevées furent proposées. L’effervescence autour du théorème ne cessait de s’amplifier, au point qu’il finit par détenir le record absolu des démonstrations erronées. Entre 1908 et 1912, on en compta plus de 1000 ! En 1955, Yutaka Taniyama se lança dans une étude qui donna lieu plus tard à la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil. En 1986, Frey la relia au théorème de Fermat. Il apparut alors que l’amusette de Fermat était bien plus qu’une curiosité mathématique. Le théorème correspondait à des propriétés fondamentales de l’espace. En juin 1993, Andrew Wiles présenta à l’Institut Isaac Newton de Cambridge une démonstration complète du théorème de Fermat, dérivant de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil. Yutaka Taniyama ne put y assister  : il s’était suicidé en 1958. Le texte de Wiles faisait plusieurs centaines de pages, et il fallut quelques mois pour repérer des erreurs. Mais on approchait. Le 6 octobre 1994, 357 ans après l’affirmation de Fermat, Wiles put présenter une démonstration à présent reconnue comme correcte. Pour une découverte de cette ampleur, il aurait dû recevoir la médaille Fields, l’équivalent du prix Nobel pour les mathématiques. Toutefois, elle n’est accordée qu’aux auteurs de moins de quarante ans. C’était le cas pour Wiles en 1993. Ça ne l’était plus en 1994. À la place, il reçut le prix Schock en 1995, le prix Ostrowski en 1995, le prix Fermat en 1995, le prix Wolf en 1996, le prix Cole en 1997, le prix du Clay Mathematics Institute en 1999, le prix Shaw en 2005, le prix Abel en 2016 (600 000  € ). C’était pas mal, mais moins prestigieux. Il a pu se consoler avec le proverbe grec qui énonce  : "Où le combat est grand, la gloire l’est aussi." I Andrew Wiles. Lion édition française - N°708//.35



Autres parutions de ce magazine  voir tous les numéros


Liens vers cette page
Couverture seule :


Couverture avec texte parution au-dessus :


Couverture avec texte parution en dessous :