Le Courrier de l'Unesco n°1974-8 septembre
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sPlsr Photo 0 Chenéec, Pa ris Plus petit est l'angle, plus ouverte la spirale ; à'l'opposé, plus grand est l'angle et plus serrée la spirale. Plus petit est l'angle, plus ouverte la spirale ; à l'opposé, plus grand est l'angle et plus serrée la spirale. Qu'un capitaine entende suivre obstinément la même direction à la boussole, son navire coupera les méridiens à un angle constant. En projection, la courbe qu'il suivra apparaîtra comme une spirale équiangulaire. Théoriquement, un tel parcours conduirait le navire en spirale vers l'un des pôles. De même, les fourmis volantes suiventelles une trajectoire équiangulaire quand elles se dirigent vers une source de lumière ; l'oeil des insectes est ainsi fait qu'il les oblige à tenir un angle d'approche constant. Enfin un pilote pourra faire suivre à son avion une trajectoire d'approche équiangulaire avant d'atterrir. Qu'un capitaine entende suivre obs¬ tinément la même direction à la bous¬ sole, son navire coupera les méridiens à un angle constant. En projection, la courbe qu'il suivra apparaîtra comme une spirale équiangulaire. Théorique¬ ment, un tel parcours conduirait le na¬ vire en spirale vers l'un des pôles. De même, les fourmis volantes suiventelles une trajectoire équiangulaire quand elles se dirigent vers une source de lumière ; l'îil des insectes est ainsi fait qu'il les oblige à tenir un angle d'approche constant. Enfin un pilote pourra faire suivre à son avion une trajectoire d'approche équi¬ angulaire avant d'atterrir. A dire vrai, si tous ces personnages — les fourmis, le marin et l'aviateur — suivaient une spirale équiangulaire véritable, ils n'arriveraient jamais à destination. De tels parcours ont bien un terme : c'est le pôle asymptotique. Il peut être approché ; il ne peut jamais être atteint. A dire vrai, si tous ces personnages les fourmis, le marin et l'avia¬ teur suivaient une spirale équi¬ angulaire véritable, ils n'arriveraient jamais à destination. De tels parcours ont bien un terme : c'est le pôle asymptotique. Il peut être approché ; il ne peut jamais être atteint. Parmi les caractéristiques particulières à la spirale équiangulaire, il faut mentionner ce fait : le rayon s'allonge de façon exponentielle à mesure que la courbe s'éloigne du centre. Le Parmi les caractéristiques particu¬ lières à la spirale équiangulaire, il faut mentionner ce fait : le rayon s'al¬ longe de façon exponentielle à mesure que la courbe s'éloigne du centre. Le mathématicien suisse Jacob Bernoulli, en effet, a démontré en 1698 que le logarithme du rayon était proportionnel à l'angle de rotation. Ce caractère fait que l'on appelle souvent logarithmique cette spirale. mathématicien suisse Jacob Bernoulli, en effet, a démontré en 1698 que le logarithme du rayon était proportion¬ nel à l'angle de rotation. Ce caractère fait que l'on appelle souvent loga¬ rithmique cette spirale. Dans ses recherches à ce sujet, Bernoulli nota que si l'on agrandissait une partie quelconque de la courbe, ce qui tendait à l'aplatir, le segment ainsi agrandi s'adaptait exactement à une autre partie de la spirale. Cette propriété invariante l'impressionna tellement qu'il demanda de graver une spirale logarithmique sur sa tombe, avec ces mots : - En changeant, je redeviens toujours la même - (eadem mutata resurgo). Le graveur ne fit pas de faute dans l'inscription. Malheureusement, il grava une spirale d'Archimède au lieu d'une spirale logarithmique... Dans ses recherches à ce sujet, Ber¬ noulli nota que si l'on agrandissait une partie quelconque de la courbe, ce qui tendait à l'aplatir, le segment ainsi agrandi s'adaptait exactement à une autre partie de la spirale. Cette propriété invariante l'impressionna tel¬ lement qu'il demanda de graver une spirale logarithmique sur sa tombe, avec ces mots : « En changeant, je redeviens toujours la même » (eadem mutata resurgo). Le graveur ne fit pas de faute dans l'inscription. Malheu¬ reusement, il grava une spirale d'Ar¬ chimède au lieu d'une spirale loga¬ rithmique... La spirale équiangulaire grandit rapidement à mesure que le dessin s'allonge. Avec son bras tourbillonnant et son rayon croissant de façon exponentielle, cette spirale parait plus dynamique que celle d'Archimède. Il existe beaucoup de spirales équiangulaires dans la nature : la toile de l'araignée Epeire, les écailles d'une pomme de pin, la petite pâquerette et le tournesol géant, les fleurs da l'euphorbe ou de myosotis, la struc- La spirale équiangulaire grandit rapidement à mesure que le dessin s'allonge. Avec son bras tourbillon¬ nant et son rayon croissant de façon exponentielle, cette spirale paraît plus dynamique que celle d'Archimède. Il existe beaucoup de spirales équiangulaires dans la nature : la toile de l'araignée Epeire, les écailles d'une pomme de pin, la petite pâquerette et le tournesol géant, les fleurs de l'euphorbe ou de myosotis, la struc- â DE LA FLEUR AU TROUPEAU DE LA FLEUR AU TROUPEAU It RR1+ RARFt De la pomme de pin au chou-fleur, de l'ananas au tournesol, la vie végétale adopte souvent la spirale dans l'ordonnancement des graines, des pétales, des feuilles... Le célèbre peintre japonais Hokusai (1760- 1849) l'avait parfaitement observé, comme en témoigne cette peinture florale (ci-dessous). Attestant la continuité possible de la croissance urbaine, le plan d'Auroville (à gauche) en Inde, présente des spires analogues à celles de la fleur du Japon, alors qu'un troupeau de rennes effrayés (à droite) se resserre en spirale sur lui-même avant de fuir, tel un ressort qui va se détendre. De la pomme de pin au chou-fleur, de l'ananas au tournesol, la vie végétale adopte souvent la spirale dans l'ordonnancement des graines, des pétales, des feuilles... Le célèbre peintre japonais Hokusai (1760- 1849) l'avait parfaitement observé, comme en témoigne cette peinture florale (ci-dessous). Attestant la conti¬ nuité possible de la croissance urbaine, le plan d'Auroville (a gauche) en Inde, présente des spires analogues à celles de la fleur du Japon, alors qu'un troupeau de rennes effrayés (à droite) se resserre en spirale sur lui-même avant de fuir, tel un ressort qui va se détendre.
Photo Wideroes Flyveselskep, Norvège Photo Wideroes Flyveselskap, Norvège is Parl. ne Bru cis Fr an La ture des ouragans. Mais la plus proche de la perfection que l'on puisse trouver doit être la coquille du Nautile. Cette coquille de mollusque possède des chambres intérieures dont les dimensions croissent suivant une progression géométrique ; la courbe coupe le rayon vecteur sous un angle de 85 degrés. La coquille devient plus grande tout en gardant une forme fixe ; c'est-à-dire qu'elle s'accroit sans changer sa morphologie. ture des ouragans. Mais la plus proche de la perfection- que l'on puisse trou¬ ver doit être la coquille du Nautile. Cette coquille de mollusque possède des chambres intérieures dont les dimensions croissent suivant une pro¬ gression géométrique ; la courbe coupe le rayon vecteur sous un angle de 85 degrés. La coquille devient plus grande tout en gardant une forme fixe ; c'est-à-dire qu'elle s'accroît sans changer sa morphologie. Dans ces conditions, la seule forme qu'elle puisse prendre est celle d'une spirale. Comme pour toutes les véritables spirales équlangulaires, les mêmes caractères se retrouvent partout sur la courbe ; on le voit en regardant une coupe agrandie de la coquille, faite horizontalement et passant par le centre. La coquille de nautile ne croit que par une extrémité ; en cela elle ressemble à la corne du rhinocéros et à celles du mouflon Dans ces conditions, la seule forme qu'elle puisse prendre est celle d'une spirale. Comme pour toutes les véri¬ tables spirales équiangulaires, les mêmes caractères se retrouvent par¬ tout sur la courbe ; on le voit en regardant une coupe agrandie de la coquille, faite horizontalement et pas¬ sant par le centre. La coquille de nautile ne croît que par une extrémité ; en cela elle ressemble à la corne du rhinocéros et à celles du mouflon L'ART, COMME LA VIE, recourt à la spirale, car c'est la forme qui se prête le plus parfaitement à la croissance combinée et régulière, en longueur, en épaisseur, et éventuellement en hauteur d'un organisme doué d'un centre d'unité. Ainsi le mouvement hélicoïdal de la tour de Babel dans cette reconstitution du 17• siècle (page de gauche) s'étire à la verticale comme celui de la coquille d'un gastéropode fossile (cicontre), dont les spires sont enroulées autour d'un axe creux. L'ART, COMME LA VIE, recourt à la spirale, car c'est la forme qui se prête le plus par¬ faitement à la croissance combinée et régulière, en longueur, en épaisseur, et éventuellement en hauteur d'un organisme doué d'un centre d'unité. Ainsi le mouve¬ ment hélicoïdal de la tour de Babel dans cette reconstitution du 17e siècle (page de gauche) s'étire à la verticale comme celui de la coquille d'un gastéropode fossile (cicontre), dont les spires sont enroulées autour d'un axe creux. — qui ont d'ailleurs aussi quelques caractères de spirale. qui ont d'ailleurs aussi quelques caractères de spirale. De minuscules organismes appelés Foraminifères, et que l'on trouve dans toutes les eaux marines, ont des coquilles dont la forme est celle d'une spirale équiangulaire grossière Sous forme de fossiles, ces coquilles constituent le matériau des falaises calcaires et une bonne partie des sédiments qui gisent au fond des mers. De minuscules organismes appelés Foraminifères, et que l'on trouve dans toutes les eaux marines, ont des coquilles dont la forme est celle d'une spirale équiangulaire grossière Sous forme de fossiles, ces coquilles cons¬ tituent le matériau des falaises cal¬ caires et une bonne partie des sédi¬ ments qui gisent au fond des mers. Certains Foraminifères ont leur coquille tournée dans le sens des aiguilles d'une montre, d'autres dans le sens contraire. Le sens de la rotation dépend de la température de l'eau au moment où se produit la croissance. La proportion des coquilles orientées dans un sens ou dans l'autre au fond des océans permet d'évaluer les températures relatives qui devaient régner aux époques glaciaires, il y a six cent mille à un million d'années, au moment où ces animaux vivaient. Les géologues ont utilisé le sens d'enroulement des Foraminifères dans la prospection pétrolière et pu voir si les puits appartenaient au même niveau géologique. Certains Foraminifères ont leur coquille tournée dans le sens des aiguilles d'une montre, d'autres dans le sens contraire. Le sens de la rota¬ tion dépend de la température de l'eau au moment où se produit la croissance. La proportion des coquil¬ les orientées dans un sens ou dans l'autre au fond des océans permet d'évaluer les températures relatives qui devaient régner aux époques gla¬ ciaires, Il y a six cent mille à un million d'années, au moment où ces animaux vivaient. Les géologues ont utilisé le sens d'enroulement des Fora¬ minifères dans la prospection pétro¬ lière et pu voir si les puits apparte¬ naient au même niveau géologique. Comment débute une croissance en spirale ? Il y a toujours là une sorte de mystère. Ordinairement, dans toute structure embryonnaire, les cellules se P Comment débute une croissance en spirale ? Il y a toujours là une sorte de mystère. Ordinairement, dans toute. structure embryonnaire, les cellules se P 15



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