Clefs n°70 mars 2020
Clefs n°70 mars 2020
  • Prix facial : gratuit

  • Parution : n°70 de mars 2020

  • Périodicité : annuel

  • Editeur : CEA

  • Format : (230 x 280) mm

  • Nombre de pages : 52

  • Taille du fichier PDF : 7,8 Mo

  • Dans ce numéro : sacrées mathématiques !

  • Prix de vente (PDF) : gratuit

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LES OUTILSll 8 - Sacrées mathématiques ! LES OUTILS l't am Au CEA, différentes équipes de recherche utilisent et développent des outils mathématiques pour résoudre une grande variété de problèmes. L èts.t Les voix de la recherche - #70 - Clefs
Permutations alternantes et boustrophédon Une permutation à n éléments est un mot obtenu en écrivant dans un ordre arbitraire les nombres entre 1 etn. Par exemple 43521 est une permutation à 5 éléments. Le nombre de permutations à n éléments est n !, le produit des entiers de 1 àn. En combinatoire, il est classique d’énumérer les permutations satisfaisant certaines contraintes. Il sera question ici des permutations alternantes. Une permutation est dite alternante si le premier nombre est plus petit que le deuxième, le deuxième est plus grand que le troisième, le troisième est plus petit que le quatrième, etc. Par exemple la permutation à 7 éléments 2756143 est alternante tandis que la permutation 2756134 ne l’est pas. Le nombre de permutations alternantes à n éléments est dénoté En. Les premières valeurs de E n (démarrant à n = 0) sont 1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272. Comment calculer E n ? Il y a plusieurs types de réponses à cette question. Premièrement, il existe des formules exprimant E n comme des doubles sommes, mais ces formules sont assez compliquées. Deuxièmement, Désiré André a calculé la série génératrice exponentielle (voir encadré) de la suite E n  : elle vaut tan x + 1/(cos x). Troisièmement, il existe un algorithme efficace de calcul des nombres E n qui remonte à Ludwig Seidel COMBINATOIRE Géométries aléatoires Différentes méthodes de combinatoire sont mises en œuvre par les équipes de l’Institut de physique théorique, unité mixte de recherche CEA/CNRS basée à Saclay, pour résoudre des problèmes de géométrie aléatoire. Depuis la gravité quantique jusqu’à l’approximation de la valeur de π en passant par le comptage de surfaces, les systèmes hors d’équilibre ou encore les plus longues sous-suites croissantes, cinq exemples de ces travaux fondamentaux sont présentés dans les pages qui suivent. Ils illustrent tous le dynamisme et l’excellence de cette recherche. et repose sur la construction du boustrophédon. Le boustrophédon est un triangle de nombres, comme le triangle de Pascal. La n-ème ligne de ce triangle contient n nombres, le k-ème de ces nombres compte les permutations alternantes à n éléments dont le dernier nombre est égal à k (Fig. 1). Comme pour le triangle de Pascal, il existe une façon simple de remplir ce triangle pas à pas, en effectuant des additions de deux nombres déjà présents. On remplit les lignes l’une après l’autre, en commençant par la première. La première ligne contient un seul élément, qui est un 1. La deuxième ligne (et toutes les lignes d’ordre pair) se remplissent de la gauche vers la droite  : on démarre par un zéro à la position la plus à gauche, et on obtient les autres nombres en faisant la somme de leur voisin de gauche avec leur voisin supérieur gauche. Par exemple le nombre 14 apparaissant sur la sixième ligne s’obtient comme la somme de son voisin de gauche (10) avec son voisin supérieur gauche (4). Pour les lignes d’ordre impair (à partir de la troisième), on remplit de la droite vers la gauche, démarrant par un zéro à la position la plus à droite et calculant les autres nombres comme somme de leur voisin de droite avec leur voisin supérieur droit. Par exemple le nombre 4 apparaissant sur la cinquième ligne s’obtient comme la somme de son voisin de droite (2) avec son voisin supérieur droit (2). PAR SANJAY RAMASSAMY (CNRS) r"\LES OUTILS Sanjay Ramassamy est chargé de recherche à l’Institut de physique théorique (CEA/CNRS). Clefs - #70 - Les voix de la recherche Sacrées mathématiques ! - 9



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