Clefs n°70 mars 2020
Clefs n°70 mars 2020
  • Prix facial : gratuit

  • Parution : n°70 de mars 2020

  • Périodicité : annuel

  • Editeur : CEA

  • Format : (230 x 280) mm

  • Nombre de pages : 52

  • Taille du fichier PDF : 7,8 Mo

  • Dans ce numéro : sacrées mathématiques !

  • Prix de vente (PDF) : gratuit

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CONTEXTE † ERREURS IFF Les mathématiques ont une longue et riche histoire, et sont marquées par des traditions  : on peut parler d’Écoles mathématiques, caractérisées par des thèmes de prédilection ou des approches spécifiques. Ainsi l’École italienne du début du XX e siècle est-elle dominée par la géométrie algébrique. L’École mathématique russe, à l’image de la citation de Vladimir Arnold, se caractérisait par sa grande culture en physique et par sa tendance à aller du particulier au général. Il était naturel que la physique théorique, même si elle ne prétend pas à la rigueur absolue, soit hébergée dans des laboratoires de mathématiques. Rien de tel en France, terre natale de Bourbaki, où dans un passé pas si lointain d’une part un mathématicien pouvait s’enorgueillir de tout ignorer des autres sciences, d’autre part il fallait viser la généralité avant tout. Les deux approches (et d’autres à travers le monde) ont produit des résultats de tout premier plan. Il faut donc se réjouir de la biodiversité du monde mathématique, même si elle produit parfois des chimères  : il y eut aussi une École aryenne, minimisant notamment la nécessité des preuves. La grande majorité de nos concitoyens n’a de souvenir des mathématiques que de quelques algorithmes comme ceux des opérations élémentaires, et il semble exagéré de dire que lorsqu’il leur arrive de les mettre en œuvre ils font des mathématiques, en particulier parce que ces algorithmes sont des procédures que l’on peut appliquer mécaniquement sans même être conscient de leur sens. Il ne faut pas le regretter  : en faisant gagner du temps et en libérant l’esprit, le passage de la manipulation directe et consciente du sens à la formalisation de règles mécaniques est une des voies royales du progrès en mathématiques. Les mathématiques  : une réalité quotidienne Mais, même si nous ne sommes guère acteurs de mathématiques au quotidien, nous en sommes, souvent à notre insu, des consommateurs boulimiques  : les mathématiques sont partout ! Depuis les algorithmes de cryptage qui sécurisent nos 1111"11 11 04 Il arrive néanmoins que les mathématiciens se perdent. Laissant dans l’oubli les innombrables « preuves » de la quadrature du cercle, les erreurs commises par de grands mathématiciens sont en général instructives et à la source de nouvelles découvertes. Ce fut le cas en particulier pour des travaux allant de Pierre de Fermat à Andrew Wiles et culminant dans la preuve du grand théorème de Fermat. « Les mathématiques ont une longue et riche histoire, et sont marquées par des traditions  : on peut parler d’Écoles mathématiques, caractérisées par des thèmes de prédilection ou des approches spécifiques. » 6 - Sacrées mathématiques ! transactions bancaires, jusqu’aux codes correcteurs d’erreurs qui assurent la qualité de la réception des images et du son comme celle du stockage des données, que le data mining permet ensuite d’exploiter. Les mathématiques financières ont transformé les pratiques bancaires et les théories de la représentation proportionnelle sont là pour garantir que les élections européennes donnent à chaque électeur de l’Union le même pouvoir de décision. Et un livre entier est consacré aux bijoux mathématiques qui se cachent dans la série « Les Simpson ». Voilà pour quelques exemples. « Une fois qu’on sait compter, additionner et multiplier, que peut-il bien rester à découvrir ? ». C’est un fait que chaque avancée scientifique nous confronte à l’inconnu, et il ne semble pas que les nouveaux problèmes mathématiques, ni leurs applications pratiques d’ailleurs, s’épuisent avec le temps qui passe. Mais on peut néanmoins prendre la question au sérieux sous au moins trois angles. D’abord, et même si les mathématiques ne se résument pas à cela, loin s’en faut, les avatars des notions d’addition et de multiplication sont au cœur des mathématiques. Certes, pour le non expert, ces nouvelles incarnations des opérations élémentaires ne seraient pas faciles à reconnaître, mais pour parler familièrement, c’est fou les types d’objets mathématiques qu’on peut additionner ou multiplier. On n’en arrive jamais à additionner choux et carottes néanmoins… Ensuite, il est bien connu qu’il y a trois sortes de mathématiciens, ceux qui savent compter et les autres… L’histoire est riche d’exemples de mathématiciens qui avaient une familiarité inouïe avec les nombres  : Leonhard Euler, Karl-Friedrich Gauss et Srinivasa Ramanujan pour n’en citer que trois. Mais il ne suffit pas, loin s’en faut, d’être un calculateur prodige pour être mathématicien. À l’autre extrémité du spectre, certains mathématiciens de premier plan ont la coquetterie d’évoquer leur incapacité à faire une règle de trois… Enfin, même avec des entiers et des opérations simples, on peut poser des questions très difficiles. Le problème de Syracuse en est un exemple fameux. Les voix de la recherche - #70 - Clefs r
Questionner le système du monde Le problème de Syracuse, et bien d’autres questions sur lesquels les mathématiciens travaillent, peuvent sembler déconnectés du quotidien et on peut légitimement se demander s’il est raisonnable de consacrer son temps à de telles activités. Dans une lettre du 2 juillet 1830 adressée à Adrien- Marie Legendre, CarlGustav Jacobi écrivait  : « M. Fourier avait l’opinion que le but principal des mathématiques était l’utilité publique et l’explication des phénomènes naturels ; mais un philosophe comme lui aurait dû savoir que le but unique de la science, c’est l’honneur de l’esprit humain, et que sous ce titre, une question de nombres vaut autant qu’une question du système du monde. » En 1940, dans sa biographie, Godfrey Harold Hardy remarquait  : « Nul n’a encore découvert d’application militaire à la théorie des nombres ou à la relativité, et il semble improbable que quiconque en découvre avant bien des années ». Pourtant, très vite, la théorie des nombres intègrerait l’arsenal des communications et, quelques années plus tard encore, des corrections relativistes contribueraient à la précision des GPS. Mais l’opposition entre mathématiques pures et À l’institut de physique théorique de Saclay. appliquées tend à disparaître en tant que hiérarchie de valeurs  : la frontière est floue, et les deux sont à la source de mathématiques belles et profondes. La distinction subsiste cependant en tant que tournure d’esprit. Certains mathématiciens trouvent leur satisfaction dans la contemplation de problèmes très désincarnés, et d’autres ne donnent leur pleine mesure que lorsqu’ils sont motivés par les liens avec le monde réel, physique, biologique ou même social. Il y a tout un continuumentre ces deux extrêmes  : les mathématiciens qui passent de l’un à l’autre au cours de leur vie sont l’exception, et même les meilleurs dans leur domaine peinent parfois à se reconvertir. Toujours est-il que les exemples sont innombrables de mathématiques poursuivies pour elles-mêmes et qui se sont révélées utiles à l’humanité. Le mathématicien est souvent guidé par des notions esthétiques, et si mystérieux que cela soit, il se trouve qu’en mathématiques la beauté est bien souvent synonyme d’efficacité. Le prix à payer est que le transfert vers les applications prend un peu de temps. Le bénéfice est l’apparition d’avancées radicales (c’est à dire non incrémentales). Pour paraphraser Malraux, le XXI e siècle sera mathématique, ou ne sera pas. C’est ce que nous souhaitons illustrer dans les pages qui suivent. † LE PROBLÈME DE SYRACUSE Partant d’un entier on peut en obtenir un autre de la manière suivante  : si l’entier initial est pair, on le divise par 2 mais s’il est impair on le multiplie par 3 et on y ajoute 1. Par exemple, partant de 7, qui est impair, on obtient 3×7+1=22. Quoi de plus simple ? Si l’on fait la même chose à 22, qui est pair, on obtient 22÷2=11. Le nombre 11 est impair, et la même règle mène à 3×11+1=34. Le problème de Syracuse est le suivant  : que se passe-t-il si, partant d’un entier quelconque, on applique la règle encore et encore ? Dans notre exemple, on obtient  : 7 p 22 p 11 p 34 p 17 p 52 p 26 p 13 p 40 p 20 p 10 p 5 p 16 p 8 p 4 p 2 p 1 p 4 p 2 p 1 p 4 p 2 p 1 p 4 … et on finit par être piégé pour toujours dans le cycle de longueur trois 4 p 2 p 1 p 4. Ce problème, « Est-ce que, de quelque entier que l’on parte, on finit toujours par retomber sur le cycle 4 p 2 p 1 p 4 ? », a été posé, en 1928, par le mathématicien Lothar Collatz. Malgré l’apparente simplicité de la question, qui a excité maints mathématiciens, la réponse n’est toujours pas connue. Nul besoin d’aller très loin, donc, pour trouver des problèmes ouverts ! a L. Godart/CEA CONTEXTE « Le mathématicien est souvent guidé par des notions esthétiques, et si mystérieux que cela soit, il se trouve qu’en mathématiques la beauté est bien souvent synonyme d’efficacité. » Clefs - #70 - Les voix de la recherche Sacrées mathématiques ! - 7



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