Clefs n°70 mars 2020
Clefs n°70 mars 2020
  • Prix facial : gratuit

  • Parution : n°70 de mars 2020

  • Périodicité : annuel

  • Editeur : CEA

  • Format : (230 x 280) mm

  • Nombre de pages : 52

  • Taille du fichier PDF : 7,8 Mo

  • Dans ce numéro : sacrées mathématiques !

  • Prix de vente (PDF) : gratuit

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LES DOMAINES D’APPLICATION CALCUL CONTRIBUTEURS (Direction des applications militaires) Q Jean-Michel Bernard est chercheur au Département de physique théorique et appliquée du CEA DAM-Ile-de-France. Daniel Bouche est directeur de recherche et assistant scientifique du directeur du CEA DAM Ile-de-France. Benoît-Joseph Gréa est chercheur au Département conception et simulation des armes du CEA DAM Ile-de-France. [1] B.-J. Gréa and A.-H. Ebo Adou «What is the final size of turbulent mixing zones driven by the Faraday instability ? » J. Fluid Mech., 837, (2018) [2] A. Briard,L. Gostiaux and B.-J. Gréa «Experiments and theory of the turbulent Faraday instability in very large tanks» J. Fluid Mech., 883, A57 (2020) 48 - Sacrées mathématiques ! L(t) [cm] 25 20 15 10 5 Détermination de solutions exactes d’équations aux dérivées partielles Les progrès vertigineux de la puissance de calcul des ordinateurs permettent d’obtenir des solutions numériques toujours plus précises des équations de la physique. Toutefois, pour les valider, connaître des solutions exactes de ces équations, par exemple pour la dynamique des fluides ou la diffraction des ondes, reste essentiel. 0 0 Solutions analytiques pour les zones de mélange induites par instabilité de Faraday En 1831, Michael Faraday observa que l’interface entre deux fluides de densités différentes pouvait se déformer sous l’action de vibrations. Ce mécanisme, dit d’instabilité paramétrique, est analogue à celui d’une balançoire dont les mouvements sont progressivement amplifiés par le déplacement des jambes. Lorsque les fluides sont miscibles et si le forçage est suffisamment intense, un mélange turbulent se forme à l’interface. Il en résulte un changement des fréquences propres du système et une atténuation de l’instabilité liée aux conditions de résonance ; comme si la balançoire, 20 10 0 0 50 100 150 200 300 350 400 Saturation Wave-breaking 10 20 I t [s] II III maintenue par des cordes s’allongeant peu à peu, se désynchronisait petit à petit des mouvements des jambes. Dans ce contexte, les solutions au problème linéaire des petites perturbations autour de l’interface s’obtiennent classiquement par analyse de Floquet et permettent de bien décrire le développement initial de l’instabilité (Fig. 1). Le mélange apparaît lorsque l’onde stationnaire se déforme avec l’apparition d’un enroulement tourbillonnaire au niveau des nœuds. Cet effet peut se prédire par une analyse faiblement non linéaire des équations. Enfin le régime turbulent sature avec la diminution progressive des fréquences propres du système. Une approche statique des équations pour le champ turbulent rend possible de quantifier le mélange turbulent produit à l’issue de cette instabilité [1, 2]. Experiment Floquet theory 30 40 I Fresh water Salty water LINEAR PHASE NON LINEAR PHASE TURBULENT PHASE Fig. 1  : à gauche, évolution temporelle de la taille de zone de mélange,L, dans une expérience d’instabilité de Faraday avec une interface eau douce/salée. On compare ces résultats avec les solutions analytiques linéaires par analyse de Floquet et les prédictions de la phase faiblement non linéaire et turbulente. À droite, images de l’expérience aux différents instants correspondant aux phases de développement de l’instabilité. II III Les voix de la recherche - #70 - Clefs L
Solutions exactes pour la diffraction des ondes Le calcul du champ diffracté par un objet général peut être décomposé, à haute fréquence, en un ensemble de problèmes dits canoniques, exactement solubles sous forme explicite. Les solutions de ces problèmes permettent de prédire le champ diffracté, et ainsi de valider les codes numériques, très coûteux à haute fréquence. Nous avons travaillé principalement sur les objets faiblement diffractant, recouverts de matériaux. Pour de tels objets, les problèmes canoniques représentatifs sont d’une part, les corps convexes réguliers, d’autre part, les discontinuités, notamment les arêtes de dièdre et les pointes de cône. Alors que le cas parfaitement conducteur peut être réduit à celui où l’inconnue (ou sa dérivée normale) est nulle sur la surface de l’objet, la présence de matériaux mène à des conditions les combinant, dites d’impédance, qui demandent la résolution de nouveaux problèmes canoniques, plus délicats à traiter. Diffraction par des corps convexes réguliers La méthode de la couche limite permet de résoudre le problème de diffraction par un objet convexe, et ainsi...-'..,','..,".,r......r....^.."-.'...--^"\, i...'\1.. 1.. ▪..,-.. 1 -.,-... Pour passer du dièdre (2D) au cas du cône (3D) en conditions mixtes, nous avons proposé une nouvelle méthode, permettant d’extraire des expressions explicites pour le champ rayonné par la pointe du cône avec condition d’impédance [6]. a face + CALCUL de prédire les ondes rampantes, qui se propagent à la surface de l’objet le long de ses géodésiques. L’atténuation de ces ondes dépend crucialement de l’impédance, et des paramètres géométriques des géodésiques [3]. Dans le cas de corps élancés, comme un sphéroïde très allongé, des ondes faiblement atténuées se propagent sur l’objet et se réfléchissent partiellement à ses extrémités. Une solution explicite rendant compte de ces phénomènes a été établie [4]. Diffraction par des discontinuités Maliuzhinets résolut en 1958 le cas du dièdre avec condition d’impédance en acoustique. En généralisant sa méthode, nous avons obtenu la première solution analytique pour un dièdre à faces planes d’angle arbitraire avec conditions d’impédance en électromagnétisme en incidence oblique, puis la solution pour un dièdre à faces courbes. Définissant alors une nouvelle représentation des champs, il fut ensuite possible de traiter le cas du polygone [5]. LES DOMAINES D’APPLICATION f « Le calcul du champ diffracté par un objet général peut être décomposé, à haute fréquence, en un ensemble de problèmes dits canoniques, exactement solubles sous forme explicite. » [3] I. Andronov, D. Bouche, F. Molinet «Asymptotic and Hybrid Methods in Electromagnetism» IEE Press, 2005 [4] I.V.Andronov, D.P.Bouche, M. Duruflé «High-Frequency Currents on a Strongly Elongated Spheroid» IEEE Trans. AP, vol 65, n 2,pp. 794-804, 2017 [5] J.M.L. Bernard, «New insights in integral representation theory for the solution of complex canonical diffraction problems», Chapter in Advances in mathematical methods for electromagnetics, published by the Institution of Engineering and Technology (IET) 2020. [6] J.M.L. Bernard «Advanced Theory of diffraction by a semi-infinite impedance cone», Alpha Sciences, 2014 Clefs - #70 - Les voix de la recherche Sacrées mathématiques ! - 49



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