Clefs n°70 mars 2020
Clefs n°70 mars 2020
  • Prix facial : gratuit

  • Parution : n°70 de mars 2020

  • Périodicité : annuel

  • Editeur : CEA

  • Format : (230 x 280) mm

  • Nombre de pages : 52

  • Taille du fichier PDF : 7,8 Mo

  • Dans ce numéro : sacrées mathématiques !

  • Prix de vente (PDF) : gratuit

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CONTEXTE PAR MICHEL BAUER (Direction de la recherche fondamentale) Michel Bauer est chercheur à l’Institut de physique théorique, unité mixte CEA/CNRS, de Saclay. 4 - Sacrées mathématiques ! DÉFINITION Excursion au pays des mathématiques Définir les mathématiques est aujourd’hui une mission difficile même dans le format d’un livre et avec le renfort d’un collectif étoffé d’auteurs mathématiciens. Ce qui suit est une brève excursion mais s’il en ressort que les mathématiques sont une activité pleinement humaine, et non une quête désincarnée, l’objectif sera atteint. Et si ce texte donne envie d’en savoir plus, tant mieux ! Il n’est pas accompagné de références, mais une recherche sur la toile avec quelques mots clés permettra sans difficulté de trouver de plus amples informations. V ladimir Arnold définissait ainsi les mathématiques avec humour  : « Les mathématiques font partie de la physique. La physique est une science expérimentale, une des sciences naturelles. Les mathématiques, ce sont la partie de la physique où les expériences ne coûtent pas cher. » Malgré tout le respect dû à Arnold, cette définition est un peu réductrice  : même si la physique théorique reste le principal pourvoyeur de problèmes mathématiques, d’autres sciences - dont la biologie et l’économie pour n’en citer que deux - peuvent légitiment prétendre avoir motivé des développements mathématiques importants. Réciproquement, on peut s’étonner de la place qu’ont pris les mathématiques dans toutes les sciences. Galilée écrivait déjà en 1623 que « le livre de l’Univers est écrit en langue mathématique. » Plus près de nous, en 1960, Eugène Wigner s’interrogeait sur « L’efficacité déraisonnable des mathématiques dans les sciences de la nature. » À titre d’exemple, les équations de la dynamique de Newton, mathématiquement abstraites et proposées sur la base d’observations fort imprécises, s’avèrent au final décrire le système solaire avec une précision inouïe. Faut-il regretter que des mathématiques abstraites soient nécessaires pour décrire le monde, ou se réjouir et s’émerveiller qu’un tel outil simplement existe ? Parmi toutes les activités humaines, les sciences en particulier, ce qui distingue les mathématiques est probablement la place exclusive donnée à la déduction pour reconnaître ce qui est vrai. Les autres sciences établissent des lois dont la base est expérimentale et qui reposent donc sur l’induction, même si la déduction joue un rôle central pour relier les lois entre elles. Les vérités du quotidien ont une assise encore plus fragile. En mathématiques, on part d’axiomes, et seul un raisonnement rigoureux est accepté pour en tirer les conséquences. Cependant, même si un résultat n’est reconnu qu’après qu’une preuve (valide) en a été donnée, les mathématiciens accordent une grande valeur à l’intuition et certains mathématiciens sont reconnus au moins autant pour les outils et concepts radicalement nouveaux qu’ils ont inventés en reconnaissant intuitivement leur importance potentielle que pour les théorèmes qu’ils ont démontrés. Invention ou découverte ? D’ailleurs, invente-t-on les concepts mathématiques ou faudrait-il plutôt parler de découverte ? Beaucoup de mathématiciens voient les mathématiques comme préexistantes et le mathématicien comme un explorateur. Mais les biologistes ont plutôt le sentiment qu’on invente les mathématiques. Cela a donné lieu à des débats passionnants et animés, comme celui qui a opposé le mathématicien Alain Connes et le neurobiologiste Jean-Pierre Changeux. Les voix de la recherche - #70 - Clefs
† NUANCES Il y a tout de même des nuances dans la notion de preuve. Imaginons une foule lointaine rassemblée sur une place. On veut s’assurer que certains individus ont un chapeau. Une possibilité est de se rapprocher et d’identifier précisément au moins un individu avec un couvre-chef. Mais on peut aussi effrayer la foule pour la disperser, et si on retrouve des chapeaux sur le sol, cela nous convaincra. De même existe-t-il des objets mathématiques compliqués, dont les éléments sont difficiles à individualiser. Il peut être très complexe, voire impossible, d’exhiber précisément un élément ayant une propriété donnée, mais raisonnablement facile de démontrer que certains éléments ont cette propriété. Certains mathématiciens ne reconnaissent en fait que la première approche comme une « vraie preuve ». Qu’on découvre ou qu’on invente les mathématiques, le consensus sur les règles logiques qui sous-tendent un raisonnement correct est mystérieux, peut-être d’ailleurs un mélange d’inné et d’acquis. Il y a, semblet-il, des cas curieux de mathématiciens qui ont la logique chevillée au corps au sens propre du terme, au point de reconnaître qu’un raisonnement est bancal non par une activité consciente mais par le fait de ressentir involontairement un malaise physique. Peutêtre un tel phénomène est-il lié au système nerveux entérique dont on réalise depuis quelques années l’importance cruciale dans d’autres domaines inattendus… Toujours est-il qu’en principe toute personne de bonne volonté peut vérifier une preuve mathématique. En principe, car en pratique suivre un raisonnement long - une preuve de quelques dizaines de pages, heureusement structurée en général par des résultats intermédiaires, est monnaie courante - nécessite des qualités spécifiques  : nous sommes tous ou presque capables de rouler à vélo, mais peu nombreux à pouvoir s’aligner sur le Tour de France, et de ce point de vue, le mathématicien est un sportif de haut niveau Paul Erdős (1913-1996) Mathématicien hongrois. dans sa capacité à forger ou à vérifier une preuve. Les mathématiciens ont d’ailleurs leurs médailles, la plus prestigieuse étant la médaille Fields, attribuée tous les quatre ans à des mathématiciens de moins de quarante ans. La moisson de la France ferait pâlir toutes nos fédérations sportives. Les mathématiques ont aussi en commun avec le sport de haut niveau que l’absorption de certains produits peut augmenter leurs performances. Le taux de caféine présent chez nombre de chercheurs dépasse de très loin la simple tasse quotidienne, et certains n’hésitent pas à aller plus loin, comme le mathématicien hongrois Paul Erdös qui vécut toute sa vie d’adulte en prenant des stimulants à haute dose. On peut encore voir les mathématiques comme une géographie et ce que nous en avons établi comme une cartographie primitive où les chemins sont les démonstrations. Dans ce monde, chacun est capable de faire un pas, mais seul le mathématicien, doué d’un sens de l’orientation aigu, est à même d’entreprendre de grands voyages sans se perdre presque immédiatement. † LE NOMBRE D’ERDÖS CONTEXTE C’est un amusement familier d’estimer combien de poignées de main nous séparent des grands de ce monde. C’est en général un nombre très petit  : ainsi rares sont les humains séparés du Président des États-Unis par plus de cinq ou six intermédiaires. Dans le concept de nombre d’Erdös, la poignée de main a été remplacée par le fait de signer un travail en commun. Même s’il s’agit d’un critère bien plus restrictif, la communauté scientifique étant bien plus réduite que l’humanité, le nombre d’Erdös d’un scientifique (même non mathématicien) dépasse très rarement la dizaine, Erdös ayant été un mathématicien incroyablement prolifique. Plus élitiste, il existe un nombre de Bacon-Erdös, qui concerne la communauté des acteurs mathématiciens…. L.Godart/CEA « Le taux de caféine présent chez nombre de chercheurs dépasse de très loin la simple tasse quotidienne, et certains n’hésitent pas à aller plus loin, comme le mathématicien hongrois Paul Erdös. » Clefs - #70 - Les voix de la recherche Sacrées mathématiques ! - 5



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