Clefs n°70 mars 2020
Clefs n°70 mars 2020
  • Prix facial : gratuit

  • Parution : n°70 de mars 2020

  • Périodicité : annuel

  • Editeur : CEA

  • Format : (230 x 280) mm

  • Nombre de pages : 52

  • Taille du fichier PDF : 7,8 Mo

  • Dans ce numéro : sacrées mathématiques !

  • Prix de vente (PDF) : gratuit

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LES DOMAINES D’APPLICATION PHYSIQUE DES PARTICULES Ricci Du nom du mathématicien italien Gregorio Ricci-Curbastro (1853-1925). Spécialiste de la géométrie différentielle, il inventa le calcul tensoriel. Dans la théorie de la relativité générale, le tenseur de Ricci est une des pierres angulaires de la théorie de la relativité générale. PAR DAVID KOSOWER (Direction de la recherche fondamentale) El David Kosower est chercheur à l’Institut de physique théorique, unité mixte CEA/CNRS, de Saclay. [1] https://news.fnal.gov/videos/qcd-quantum-chromodynamics/[2] https://news.fnal.gov/videos/feynman-diagrams/[3] S. Laporta, Phys. Lett. B 504, 188 (2001) [hep-ph/0102032] ; Int. J. Mod. Phys. A 15, 5087 (2000) [hep-ph/0102033] [4] J. Gluza, K. Kajda, et D. A. Kosower, Phys. Rev. D83, 045012 (2011) 36 - Sacrées mathématiques ! Les travaux réalisés à l’IPhT s’inspirent des techniques développées dans la géométrie algébrique et différentielle pour étudier la forme des espaces internes permise par les équations de mouvement, et ses conséquences phénoménologiques. Nous avons montré que la théorie des cordes nécessite une généralisation des notions de géométrie riemannienne, généralisation dont la première forme a été introduite en 2002 par le mathématicien britannique Nigel Hitchin. Alors que l’équation d’Einstein de la relativité générale exige qu’en l’absence de matière l’espace-temps soit Ricci-plat, les équations du mouvement de la théorie des cordes nécessitent des espaces « Ricci-plats généralisés ». Cela permet de construire des variétés qui ne sont pas Ricci-plates mais plus important encore de trouver également des solutions qui n’ont pas d’interprétation en termes de géométrie conventionnelle. Les « solutions non géométriques » de la théorie des cordes utilisent des symétries de dualité inhérentes aux cordes, n’existant pas pour les objets ponctuels. Par exemple, selon la théorie des cordes, une Le Large Hadron Collider du Cern est, dans un certain sens, le microscope le plus puissant jamais construit. Ses expériences ont pour but de comprendre les lois de la Nature à des échelles de l’ordre d’un millième de la taille d’un proton. Avant de chercher des déviations aux lois connues à ce jour, un préalable est de prédire précisément les effets attendus de ces dernières. C’est la tâche des physiciens théoriciens. Les calculs les plus complexes sont ceux relatifs à l’interaction forte, qui décrit la liaison des nucléons dans les noyaux, ainsi que celle des quarks dans le proton. À courte distance, cette interaction est décrite par une théorie connue sous le nom de chromodynamique quantique (QCD) [1]. Aux échelles sondées par le LHC, cette interaction peut être traitée par une approche perturbative, c’est-à-dire un développement en puissances de l’intensité de l’interaction. La QCD est une théorie difficile car l’ordre le plus bas (LO, pour Leading Order) de ce développement donne seulement une vision qualitative. Des résultats dimension supplémentaire ayant pour forme un cercle de rayon R est indiscernable d’une dimension supplémentaire étant un cercle de rayon l s2/R ! Cette symétrie appelée « T-dualité » existe parce qu’une corde qui a un nombre donné n d’unités (quantiques) d’impulsion sur un cercle de rayon R a exactement la même énergie qu’une corde qui est enroulée n fois autour d’un cercle de rayon l s2/R. Un T-fold (Fig. 1) est une solution admissible en théorie des cordes  : c’est le fibré d’un cercle sur un autre, c’est-à-dire que lorsque l’on se déplace le long de l’un des cercles, le rayon de l’autre cercle varie. Il est tel qu’une fois qu’on a fait le tour du cercle, au lieu de revenir sur lui-même comme dans un espace ordinaire, il revient comme le cercle T-dual. Puisque dans la théorie des cordes on ne peut pas distinguer l’un de l’autre, ce type de solution est autorisé. Pour donner une description géométrique conventionnelle des T-folds, il faut recourir à la « géométrie double », où le cercle et le cercle T-dual sont mis sur le même pied. Einstein comprenait la gravité à travers la géométrie. Notre compréhension de la théorie des cordes nous dirige vers la géométrie généralisée. Intégrales de Feynman et géométrie algébrique quantitatifs requièrent au minimum l’ordre suivant (NLO, Next-to-Leading Order). Mais il est en général encore insuffisant pour égaler la précision atteinte par les expériences actuelles ou à venir. Les théoriciens sont donc amenés à aller au-delà  : au troisième ordre du développement (NNLO). NNLO est la limite actuelle pour la plupart des calculs en QCD. Ces calculs sont organisés en termes d’intégrales de Feynman [2], qui correspondent à des intégrales sur les impulsions et énergies de particules « virtuelle » circulant dans les boucles des diagrammes. Difficile de simplifier ces intégrales ! Pour chaque processus physique, par exemple la diffusion d’un quark sur un gluon, une étape intermédiaire implique un grand nombre d’intégrales de Feynman différentes. Les « intégrands » (la fonction sous l’intégrale) sont des fonctions rationnelles de deux impulsions sur lesquelles on intègre, et de celles des particules incidentes et sortantes. Les divers intégrands ont un nombre limité de dénominateurs, mais un très grand nombre de numérateurs distincts. Chacune des Les voix de la recherche - #70 - Clefs
intégrales est complexe à calculer et la difficulté est considérablement accrue par leur grand nombre. Toutefois, ces intégrales ne sont pas toutes indépendantes  : il existe de nombreuses relations linéaires entre elles. Un algorithme [3] dû à Laporta permet de trouver toutes ces relations  : il introduit de nouvelles intégrales qui ne faisaient pas partie de l’ensemble original, afin d’obtenir un système d’équations fermé. Ce système d’équations linéaires est ensuite résolu par la méthode dite du « pivot de Gauss ». La principale difficulté réside dans le grand nombre d’équations et dans le fait que les intégrales additionnelles introduites par l’algorithme de Laporta doivent être éliminées. Cet algorithme n’est pas la seule méthode pour obtenir de telles relations linéaires. En utilisant des polynômes [4] appelés « vecteurs générateurs », il est possible d’obtenir un système d’équations qui ne contient que les intégrales nécessaires pour la physique, et qui est donc considérablement plus petit. Ces vecteurs sont les solutions d’un petit nombre d’équations polynomiales dépendant des impulsions du problème. Ici, on s’intéresse aux solutions qui sont des polynômes plutôt que des fonctions rationnelles. À cette fin, les méthodes élémentaires telles que le pivot de Gauss sont inapplicables et doivent être Quand une collision fondamentale produit des quarks et des gluons, particules de l’interaction forte, ceux-ci se développent en gerbes collimatées de particules. Ces gerbes sont appelées «jets» et leur reconstruction à partir des particules de l’état final - nécessaire à l’étude des interactions fondamentales - est une tâche routinière en physique des collisionneurs. Pour ce faire, on utilise un «algorithme de jet». Si k t désigne l’énergie transverse aux faisceaux d’une particule, y sa rapidité (distance angulaire le long du PHYSIQUE DES PARTICULES remplacées par des techniques issues de la géométrie algébrique computationnelle. Cette branche des mathématiques étudie les équations polynomiales et les objets géométriques correspondant à leurs solutions. La simplification d’un système d’équations polynomiales dépendant de plusieurs variables équivaut à trouver une base plus simple de l’ensemble des combinaisons linéaires (à coefficients polynomiaux) de ces équations [5]. C’est-à-dire une représentation plus simple des surfaces géométriques correspondant aux solutions de ces équations, d’où la connexion avec la géométrie algébrique. Le concept central en géométrie algébrique algorithmique est la base de Gröbner [6] de l’ensemble d’équations. Trouver cette base est en quelque sorte un analogue non linéaire du pivot de Gauss pour un système linéaire. L’algorithme [6] original pour trouver cette base est dû à Buchberger, mais d’autres ont été développés par la suite. Alors que l’algorithme de Laporta est peu adapté à la complexité des calculs contemporains, les vecteurs générateurs ont permis de réaliser des calculs pionniers en QCD ainsi que dans des théories de supergravité [7]. En particulier, plusieurs groupes ont pu calculer [8] l’an dernier toutes les contributions de troisième ordre pour la diffusion de deux partons (quarks ou gluons) en trois partons. Reconstruire les jets de particules La méthode la plus courante pour étudier les interactions fondamentales de la physique est d’effectuer des collisions à haute énergie, comme c’est le cas au LHC au Cern. Chaque collision produit de nombreuses particules dans «l’état final» dont l’étude fournit des informations sur les interactions fondamentales de la collision. faisceau) et ϕ son angle azimuthal autour du faisceau, alors, la distance entre deux particules est définie de la façon suivante  : 2p 2p 2 2 d ij = min(kt,i, kt,j) (Δy ij + Δϕ ij) où p est un paramètre libre (p=-1 correspond à l’algorithme anti-kt [1] utilisé au LHC). La reconstruction des jets se fait itérativement, en identifiant à chaque étape la paire de particules au d ij le plus petit et en recombinant ces deux particules en une seule. LES DOMAINES D’APPLICATION [5] D. A. Cox, D. O’Shea, et J. B. Little, Using Algebraic Geometry, deuxieme ed., Graduate Texts in Mathematics (Springer Science, New York, 2005). ISBN 0–387–20706–6 ; M. Kreuzer andL. Robbiano, Computational Commutative Algebra I (Springer–Verlag, Berlin, 2000). ISBN 978–3–540–67733–8 ; M. Kreuzer andL. Robbiano, Computational Commutative Algebra II (Springer–Verlag, Berlin, 2000). ISBN 978–3–540–25527–7 [6] B. Buchberger, An Algorithmic Criterion for the Solvability of a System of Algebraic Equations, Aeq. Math. 4:374 (1970). [English translation (M. Abramson and R. Lumbert dans Gröbner Bases and Applications (B. Buchberger, F. Winkler, eds.), London Math. Soc. Lecture Note Series 251, Cambridge University Press, 1998, 535 ; ISBN 0–521–63298–6 [7] Z. Bern, J. J. Carrasco, W.-M. Chen, A. Edison, H. Johansson, J. Parra-Martinez, R. Roiban, et M. Zeng, Phys. Rev. D98, 086021 (2018) [8] S. Abreu, F. Febres Cordero, H. Ita, B. Page, et V. Sotnikov, JHEP 1811, 116 (2018) PAR GRÉGORY SOYEZ (CNRS) Grégory Soyez est chargé de recherche. Il travaille à l’Institut de physique théorique, unité mixte CEA/CNRS, à Saclay. [1] Matteo Cacciari, Gavin P.Salam, Gregory Soyez, The anti-kt jet algorithm, JHEP 0804 (2008) 063 (inspirehep.net/record/779080) Clefs - #70 - Les voix de la recherche Sacrées mathématiques ! - 37



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