Clefs n°70 mars 2020
Clefs n°70 mars 2020
  • Prix facial : gratuit

  • Parution : n°70 de mars 2020

  • Périodicité : annuel

  • Editeur : CEA

  • Format : (230 x 280) mm

  • Nombre de pages : 52

  • Taille du fichier PDF : 7,8 Mo

  • Dans ce numéro : sacrées mathématiques !

  • Prix de vente (PDF) : gratuit

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LES DOMAINES D’APPLICATION PHYSIQUE DES PARTICULES PAR RUTH BRITTO (Direction de la recherche fondamentale) 41e Ruth Britto est chercheure à l’Institut de physique théorique, unité mixte CEA/CNRS, à Saclay. Fig. 2  : exemples simples d’intégrales produisant des polylogarithmes. La fonction Li 2 est appelée dilogarithme. log(x) = x 1 log 2 (x) = 2 Li 2 (x) = x 0 dt t [1] http://irfu.cea.fr/xxl 1-x dy 0 1-y dy y y 0 dt 1-t 34 - Sacrées mathématiques ! Au cœur de la matière Différents outils mathématiques permettent d’explorer les lois de la physique aux échelles les plus infimes, qu’il s’agisse de décrire les particules élémentaires, leurs interactions ou encore le produit de celles-ci. Les exemples présentés ici montrent tous l’apport déterminant de la recherche la plus fondamentale à la connaissance de la matière. y 0 dt 1-t Bi-algèbres et particules Les diagrammes de Feynman sont une manière graphique de représenter les interactions entre particules élémentaires, telles que décrites en théorie quantique des champs. Des particules peuvent entrer en collision et en produire d’autres, qui peuvent elles-mêmes interagir ou bien se désintégrer en d’autres particules. Pour chacun de ces diagrammes, des « règles de Feynman » indiquent comment convertir le diagramme en une formule mathématique qui, en général, fait intervenir des logarithmes. La somme de toutes ces expressions mathématiques permet d’obtenir les probabilités d’occurrence de ces réactions entre particules. Ces règles de Feynman ont été amplement testées mais les formules obtenues sont très difficiles à calculer efficacement. Des efforts intenses ont été fournis pour trouver des techniques permettant d’organiser les diagrammes et les règles de Feynman d’une manière différente, afin d’obtenir des formules plus simples. Ces travaux ont révélé des structures que le simple examen des règles de Feynman ne laissait pas entrevoir. Un exemple de ces structures cachées est l’application des bi-algèbres aux diagrammes de Feynman et aux formules correspondantes. Une algèbre ordinaire est dotée d’opérations d’addition (+) et de multiplication (×). Une bi-algèbre est, en outre, dotée d’une opération supplémentaire appelée «comultiplication» (∆). À partir de deux éléments, la multiplication en donne un seul, qui est leur produit. Au contraire, la comultiplication donne une paire d’éléments, appelée coproduit, à partir d’un seul. Cet appariement est en fait un produit tensoriel ⊗, qui peut aussi être une somme de paires d’éléments. Par ailleurs, les opérations +, ×, et ∆ doivent obéir à certaines contraintes mutuelles afin d’assurer la cohérence de l’ensemble. Voici un exemple simple de bi-algèbre. Ses éléments sont des paires (a,b) de nombres entiers, tels que a soit un diviseur de b. Ainsi, (2,6) est un élément mais (2,7) n’en est pas un. L’addition et la multiplication sont définies de manière axiomatique  : par exemple, la somme (1,2)+(2,4) est juste écrite telle quelle sans simplification, mais il est possible de simplifier (1,2)+(1,2) = 2(1,2) sous la forme d’une multiplication par un nombre ordinaire. La comultiplication est définie ainsi : ∆(a,b) est la somme des paires (a,c) ⊗ (c,b) telles que a soit un diviseur dec, et c un diviseur de b. En voici quelques exemples  : ∆(1,15) = (1,1) ⊗(1,15) + (1,3) ⊗(3,15) + (1,5) ⊗(5,15) + (1,15) ⊗(15,15), ∆(2,6) = (2,2) ⊗(2,6) + (2,6) ⊗(6,6), ∆(4,4) = (4,4) ⊗(4,4). Des manipulations similaires sont possibles sur les lignes d’un diagramme, en basant sur le fait que la divisibilité des nombres entiers dépend essentiellement des sous-ensembles de ses diviseurs. Prenons l’exemple d’un diagramme de Feynman décrivant une particule qui fluctue temporairement en une paire de particules virtuelles  : un sousensemble de ces particules virtuelles peut être sélectionné afin de jouer un rôle spécial, marqué en rouge dans les diagrammes. En physique, cette marque indique que la particule virtuelle concernée possède les attributs (énergie, polarisation...) d’une particule physique. De tels graphes sont des éléments d’une bi-algèbre (Fig.1). À l’exception d’une modification pour tenir compte de la limite de grande énergie, cette comultiplication sur les graphes semble correspondre étroitement à une Les voix de la recherche - #70 - Clefs
« coaction » plus générale sur les fonctions qui résultent des règles de Feynman. Appliquées à des graphes avec des boucles, comme dans la figure 1, ces règles donnent des intégrales qui sont en général très compliquées à calculer. Dans les cas simples (Fig. 2), ces intégrales peuvent après quelques efforts être exprimées en termes de fonctions connues sous le nom de « polylogarithmes ». On sait depuis une vingtaine d’années que les polylogarithmes admettent une structure de bi-algèbre, avec une coaction qui peut être définie de manière similaire aux deux exemples introduits précédemment. Quelques exemples de cette coaction sont  : ∆(log x) = log x ⊗ 1 + 1 ⊗ log x, ∆(Li 2 x) = 1 ⊗ Li 2 x + log x ⊗ log x + Li 2 x ⊗ 1. À ce jour, il n’a pas été complètement établi que la coaction sur les graphes correspond précisément à la coaction sur les fonctions logarithmiques. Cette question est difficile du fait de la complexité des expressions produites par les règles de Feynman. Mais c’est aussi la raison pour laquelle ce type de PHYSIQUE DES PARTICULES correspondance possède un grand intérêt  : une telle correspondance mettrait au jour de nouvelles structures dans les interactions entre particules élémentaires, et pourrait permettrait d’obtenir les formules correspondant aux graphes décrivant ces interactions d’une manière plus directe qu’avec les règles de Feynman. k 5 l -0- Po-C k 3 5 l - l 3 5 kpo-c-ID- k 5 l Géométrie de la théorie des cordes À plusieurs reprises au cours de l’histoire, les physiciens ont conçu des modèles dans plus ou moins de dimensions que les trois observables, soit pour simplifier leurs formulations, soit pour profiter des avantages potentiels qu’un traitement multidimensionnel peut offrir. Avec la théorie des cordes, cependant, la prise en compte de nouvelles dimensions a acquis une nuance différente. Des dimensions supplémentaires peuvent être associées à des dimensions « réelles ». La théorie des cordes résout l’apparente incompatibilité entre la théorie de la relativité d’Einstein et la physique quantique, les deux principaux piliers de la physique fondamentale, en formulant d’une façon radicalement différente les lois de la physique aux échelles les plus infimes. Elle décrit les particules élémentaires non pas comme des points mais comme des objets à une dimension  : des cordes. Ces cordes peuvent vibrer et leurs différents modes harmoniques représentent les différentes particules élémentaires. L’un des modes vibratoires des cordes possède les propriétés du graviton, le médiateur de la force gravitationnelle, tandis qu’un autre correspond au photon. La théorie unifie ainsi toutes les forces et formes de matière. La consistance interne de la théorie exige un espace-temps à dix dimensions, les quatre familières à l’observation et six supplémentaires qui forment une Δ 3 () = k + + 3 3 -o-o k 5 l k 5 l Fig. 1  : exemple de l’action du coproduit sur un diagramme de Feynman à une boucle. Les labels 3 et 5 sur les lignes internes sont arbitraires, mais ont été choisis par analogie avec le coproduit Δ (1,15) de l’exemple précédent. On ne tient pas compte des graphes sans aucune ligne interne. La règle est que les lignes internes qui apparaissent à gauche du ⊗ sont marquées à droite du ⊗. structure si petite (l’espace interne) qu’elle n’est pas directement observable. Exactement comme si on regardait un tuyau à une échelle trop grossière pour prendre en compte son épaisseur. La taille de ces six dimensions est liée à celle de la longueur de la corde, appeléels, soit 10 -35 m (10 20 fois plus petit que le diamètre d’un proton). Bien qu’inobservables, ces dimensions supplémentaires jouent un rôle essentiel  : c’est la géométrie de l’espace interne qui détermine le spectre des particules observées à quatre dimensions. Elle permet également d’aborder le problème de l’énergie sombre qui serait à l’origine de l’accélération de l’expansion cosmique. Fig. 1  : un T-fold l 3 LES DOMAINES D’APPLICATION PAR MARIANA GRAÑA (Direction de la recherche fondamentale) Mariana Graña est chercheure à l’Institut de physique théorique, unité mixte CEA/CNRS, à Saclay. Clefs - #70 - Les voix de la recherche Sacrées mathématiques ! - 35



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