Clefs n°70 mars 2020
Clefs n°70 mars 2020
  • Prix facial : gratuit

  • Parution : n°70 de mars 2020

  • Périodicité : annuel

  • Editeur : CEA

  • Format : (230 x 280) mm

  • Nombre de pages : 52

  • Taille du fichier PDF : 7,8 Mo

  • Dans ce numéro : sacrées mathématiques !

  • Prix de vente (PDF) : gratuit

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LES DOMAINES D’APPLICATION ÉNERGIE « D’un point de vue mécanique, le contact est la notion d’interaction entre un ou plusieurs objets qui vont échanger de l’énergie. Il intervient à l’interface entre deux objets qui se rencontrent. Sa nature discontinue en fait un phénomène très non-linéaire. » [1]L. Sirovich. Turbulence and the dynamics of coherent structures. Parts I–III. Quarterly of Applied Mathematics, 45(3)  : 561–590, 1987. [2] J.L. Lumley. The Structure of Inhomogeneous Turbulent Flows. In A.M. Yaglom and V.I. Tatarski, editors, Atmospheric turbulence and radio propagation, pages 166–178. Nauka, Moscow, 1967. [3]C. Eckart and G. Young. The approximation of one matrix by another of lower rank. Psychometrika, 1(3)  : 211–218, Sep 1936. [4] J. Fauque, I. Ramière, and D. Ryckelynck. Hybrid hyper-reduced modeling for contact mechanics problems. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 115(1)  : 117–139, 2018. [5] S. Abide, M. Barboteu, and D. Danan. Analysis of two active set type methods to solve unilateral contact problems. Applied Mathematics and Computation, 284(C)  : 286–307, July 2016. [6] B. Haasdonk, J. Salomon, and B. Wohlmuth. A reduced basis method for parametrized variational inequalities. SIAM Journal on Numerical Analysis, 50(5)  : 2656–2676, 2012. 30 - Sacrées mathématiques ! Le domaine que recouvre le terme de réduction d’ordre de modèles est très vaste mais deux catégories principales de méthodes existent dans la littérature  : les méthodes dites a priori pour lesquelles l’espace d’approximation est construit à la volée et celles dites a posteriori qui utilisent des résultats de calcul obtenus avec le FOM, communément appelés snapshots d’après la terminologie de Sirovich [1], pour construire l’espace d’approximation réduit. Ces dernières rentrent dans le cadre des méthodes de machine learning. Les méthodes a posteriori, qui nous intéressent ici, sont en général plus faciles à mettre en place dans un solveur existant. Dans ces méthodes, la base réduite engendrant l’espace d’approximation réduit est soit directement composée de snapshots, soit de vecteurs obtenus en extrayant, avec une méthode de compression de données, l’information la plus importante contenue dans ces snapshots. La méthode la plus connue est alors la décomposition orthogonale aux valeurs propres (POD pour Proper Orthogonal Decomposition [2, 1]) qui permet d’obtenir une base réduite optimale. Cette méthode s’appuie sur une approche de factorisation de matrice, la décomposition en valeurs singulières (abrégée SVD pour Singular Value Decomposition [3]) qui peut être vue comme la généralisation de la diagonalisation aux matrices rectangles. Par ailleurs, la SVD permet d’obtenir les vecteurs propres par ordre décroissant des valeurs singulières (représentant l’énergie transportée et directement liées à l’erreur d’approximation) et ainsi de trouver, pour un nombre de vecteurs donné, la meilleure approximation d’une matrice S (pour nous, la matrice des snapshots)  : les vecteurs singuliers associés aux plus grandes valeurs singulières sont ceux qui vont le mieux approximer la matrice S. Une fois la base réduite construite, le ROM est obtenu par projection du FOM sur la base réduite. Ainsi, en appliquant une méthode d’approximation numérique standard, on se ramène généralement au problème discrétisé linéaire suivant correspondant au FOM  : Trouver U ∈ R N tel que (1) KU = F avec K ∈ R N×N et F ∈ R N. Le vecteur d’inconnues U est de taille N. Pour obtenir le problème d’ordre réduit, on écrit la solution recherchée U dans la base réduite discrète V (de taille N × l)  : U = Vγ, où γ est le nouveau vecteur d’inconnues de taillel, l étant petit devant N, contenant les ddl associés aux fonctions de la base réduite. Puis on projette le problème (1) à gauche sur la base réduite discrète (qui correspond à la discrétisation des fonctions tests de la base réduite dans la base complète). Le ROM s’écrit alors ainsi pour l ≪ N Trouver γ ∈ R l tel que (2) V T KVγ = V T F. En posant K = V T KV et F = V T F, on reconnaît un problème de type (1) mais de taille l×l au lieu de N×N. Il est à noter cependant que la matrice K est en général pleine contrairement à la matrice K qui est une matrice creuse. Mécanique du contact D’un point de vue mécanique, le contact est la notion d’interaction entre un ou plusieurs objets qui vont échanger de l’énergie. Il intervient à l’interface entre deux objets qui se rencontrent. Sa nature discontinue en fait un phénomène très non-linéaire. Nous cherchons ici à résoudre un problème mécanique avec contact sans frottement entre solides, en considérant deux solides élastiques. Les équations qui régissent le contact s’écrivent avec des inégalités, ce qui conduit à une inégalité variationnelle lors l’application standard des méthodes de discrétisation numérique (en particulier pour la méthode des éléments finis utilisée en mécanique des solides). Parmi les approches existantes pour traiter numériquement le contact, nous nous intéressons ici à la méthode des multiplicateurs de Lagrange qui permet de vérifier exactement l’ensemble des conditions de contact, notamment la condition de non-pénétration. Le multiplicateur de Lagrange introduit est en fait équivalent à la force de contact (au signe près). Le problème discrétisé (correspondant au FOM) s’écrit alors  : (3) { Trouver (U,Λ) ∈ R N × (R +) N λ tel que KU + B T Λ = F BU ≤ D Λ T (D-BU)=0 où N et N λ correspondent respectivement au nombre de ddl associés à la variable primale (U) et à la variable duale (Λ), K ∈ R N×N, B ∈ R Nλ×N, F ∈ R N, D ∈ R Nλ. Ici N λ représente le nombre total de contacts potentiels. La matrice B est appelée matrice de rigidité de contact. Chaque ligne de B correspond à un contact potentiel et le produit BU correspond au déplacement relatif sur la zone de contact avec D le jeu initial. Le problème (3) est en fait un problème d’optimisation de type point-selle. La méthode de résolution la plus utilisée pour résoudre le problème (3) est une méthode des statuts [5], ou active-set strategy, qui permet de passer d’une inégalité variationnelle à une égalité variationnelle qu’on sait résoudre par les méthodes de résolution standard. En pratique, cette méthode consiste à chercher la matrice de rigidité des contacts « actifs », c’est-à-dire la sous-matrice B ac de B qui vérifie B ac U= D ac (avec D ac le jeu initial sur la zone de contacts actifs). À cette fin, la méthode va activer/désactiver les statuts de contact (lignes de B) Les voix de la recherche - #70 - Clefs
jusqu’à trouver une solution qui vérifie l’ensemble des conditions de contact. Le traitement du contact en mécanique du solide occupe la majeure partie du temps de résolution. L’intérêt de la réduction d’ordre de modèles pour ce type de problème est donc évident. La littérature à ce sujet est très récente et très limitée [6, 7]. Par rapport au problème général (1), le problème de contact (3) comporte des inconnues supplémentaires qui sont les multiplicateurs de Lagrange. Pour réduire au plus le modèle, il semble justifié de construire, en plus de la base réduite associée aux déplacements, une base réduite associée aux multiplicateurs de Lagrange. Il faut noter que la base duale (associée aux multiplicateurs de Lagrange) doit être positive. En pratique, il est très difficile de trouver une bonne base réduite approximant les multiplicateurs de Lagrange. De plus, après projection du modèle FOM sur les deux bases réduites, le ROM vérifie uniquement des conditions de contact projetées. Les conditions de contact initiales (notamment la condition de nonpénétration) ne sont alors plus vérifiées localement. D’où notre intérêt pour les méthodes d’hyperréduction de modèles afin de garantir la vérification des conditions de contact initiales. Hyper-réduction hybride La méthode d’hyper-réduction (HR) [8] repose à la fois sur la projection des équations sur une base réduite mais également sur la résolution du modèle sur un maillage réduit, appelé domaine d’intégration réduit (RID - Reduced Integration Domain). Cette particularité permet de réduire le temps de calcul puisque la projection se fait sur la base réduite restreinte au RID  : il n’y a alors plus de dépendance à la taille du système obtenu avec la méthode d’approximation classique. Le gain en temps de calcul est particulièrement important pour des problèmes de mécanique avec des matériaux non linéaires. Au Département d’étude des combustibles de la Direction de l’énergie nucléaire du CEA, nous avons travaillé sur l’extension de la méthode d’hyperréduction à des problèmes de contact [4]. Dans ce travail, la définition du domaine d’intégration réduit a été revue afin de pouvoir garantir le calcul du jeu sur ce RID (Fig. 2). La base primale est obtenue par POD et la base duale par restriction de la base du FOM sur le RID. Ce choix est raisonnable car la restriction du domaine au RID va diminuer le nombre de contacts à traiter. Par ailleurs, il permet d’obtenir une très bonne prévision des forces de contact. Le problème d’ordre réduit hybride ainsi obtenu est prouvé être bien posé et consistant avec la formulation FOM. Ainsi, le problème réduit tend bien vers la solution du problème d’ordre plein, avec notamment le respect des conditions de contact (sans projection). Une méthode de reconstruction des multiplicateurs de Lagrange sur tout le maillage a été également développée dans ces travaux. Cette méthode peu intrusive a pu être testée [9] sur des problèmes de contact intervenant lors de la simulation mécanique du comportement des combustibles nucléaires (Fig. 3). Les résultats obtenus sont très satisfaisants et permettent une réduction des temps de calculs d’un facteur de l’ordre de 10. a Fig. 3  : exemple d’hyper-réduction d’ordre de modèle pour le contact pastille-gaine, issu de la thèse de Jules Fauque [9]. Maillage éléments finis (3680 éléments) pour le FOM. Noir  : pastille, bleu  : gaine RID (670 éléments) pour le ROM hyper réduit. Noir  : pastille, bleu  : gaine 00 0 0110 091 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 10 Force de contact avec le FOM. ÉNERGIE LES DOMAINES D’APPLICATION [7] M. Balajewicz, D. Amsallem, andC. Farhat. Projection-based model reduction for contact problems. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 106(8)  : 644–663, 2016. [8] D. Ryckelynck. Hyper reduction of mechanical models involving internal variables. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 77(1)  : 75–89, 2009. [9] J. Fauque. Modèle d’ordre réduit en mécanique du contact. Application à la simulation du comportement des combustibles nucléaires. PhD thesis, Université de recherche Paris Sciences et Lettres, MINES ParisTech, 2018. Force de contact avec le ROM hyper réduit. Clefs - #70 - Les voix de la recherche Sacrées mathématiques ! - 31



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