Clefs n°70 mars 2020
Clefs n°70 mars 2020
  • Prix facial : gratuit

  • Parution : n°70 de mars 2020

  • Périodicité : annuel

  • Editeur : CEA

  • Format : (230 x 280) mm

  • Nombre de pages : 52

  • Taille du fichier PDF : 7,8 Mo

  • Dans ce numéro : sacrées mathématiques !

  • Prix de vente (PDF) : gratuit

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LES OUTILS ANALYSE NUMÉRIQUE CONTRIBUTEURS (Direction des applications militaires) Gilles Carré est ingénieur au Département des sciences de la simulation et de l’information (DAM Ile-de-France) du CEA. Stéphane Del Pino est ingénieur au Département des sciences de la simulation et de l’information (DAM Ile-de-France) du CEA. Stéphane Jaouen est ingénieur au Département des sciences de la simulation et de l’information (DAM Ile-de-France) du CEA. Emmanuel Labourasse est ingénieur au Département des sciences de la simulation et de l’information (DAM Ile-de-France) du CEA. [1] J. VonNeumann, R. D. Richtmyer (1950). A Method for the Numerical Calculation of Hydrodynamic Shocks. Journal of Applied Physics, Vol. 21, No. 3.,pp. 232–237. [2] www-physique-chimie.cea.fr/science-enligne/chocs-avancees.html 24 - Sacrées mathématiques ! Simuler des modèles complexes Établies en 1757 par Leonhard Euler, les équations d’Euler consistent en un système de trois équations aux dérivées partielles non linéaires qui modélise l’écoulement de fluides sans viscosité ni échange de chaleur par conduction thermique. Ces lois de conservation décrivent l’évolution de la masse volumique, de l’impulsion et de l’énergie (totale) d’un fluide. Valable pour des gaz et des liquides non visqueux, denses et non relativistes, ce modèle reste, plus de 250 ans après son écriture, l’un des plus utilises pour calculer l’évolution des fluides. Comparaison entre expérience (gauche) et simulation (droite) de l’impact d’une goutte sur une surface liquide. Ce système n’admet pas de solution explicite (excepté dans des cas très particuliers). Il constitue donc un excellent exemple de l’apport de la simulation pour approcher numériquement des modèles complexes. Pour résoudre ce type d’équations, le principe, appelé méthode numérique, et dont un des pionniers est Bernhard Riemann, est de diviser le temps et l’espace en intervalles (discrétisation) et d’en déduire une approximation des dérivées. Cette méthode est d’autant plus précise que les intervalles sont petits. Dans des cas réalistes, le nombre de calculs est colossal. En revanche, ce sont des opérations élémentaires (multiplications et additions). C’est pourquoi il est venu naturellement à l’esprit de John von Neumann, dans le cadre du projet Manhattan, de faire réaliser ces calculs par un des premiers ordinateurs. Il publie avec Robert Richtmyer un schéma pour l’hydrodynamique choquée en 1950 [1]. Le succès de ce schéma, toujours utilisé aujourd’hui, tient en grande partie au fait que von Neumannet Richtmyer ont compris que pour résoudre les équations d’Euler en présence de chocs, il n’est pas suffisant d’approcher correctement les dérivées. Il faut également assurer la stabilité de la méthode numérique, en traduisant au niveau discret l’augmentation physique de l’entropie au passage d’un choc. Quelques années plus tard, Peter Lax a donné un sens mathématique à cette technique en introduisant la notion de solution entropique. Proposer un schéma numérique capable de calculer les solutions des équations d’Euler nécessite une analyse des modèles et de leurs propriétés aux niveaux continu et discret. Ce constat ouvre une nouvelle branche des mathématiques appelée l’analyse numérique. Portée par l’augmentation considérable de la puissance des ordinateurs, cette discipline s’impose chaque jour davantage comme un des principaux outils d’interprétation de notre environnement. Depuis sa création, le CEA s’est impliqué dans le développement de codes de simulation pour accélérer et réduire le coût de la conception des armes nucléaires. En 1995, la France décide de mettre fin aux essais. En conséquence, la garantie de fonctionnement des armes repose sur la simulation numérique qui devient ainsi un des principaux outils de la dissuasion. Ainsi, l’analyse numérique est devenue une compétence critique pour sa Direction des applications militaires (DAM), en particulier pour simuler la dynamique des fluides en présence de chocs. L’écriture d’un schéma numérique efficace nécessite de traiter de nombreuses questions parmi lesquelles  : l’existence et l’unicité de solutions, le respect des lois de conservation (masse, quantité de mouvement et énergie totale), le respect des équilibres (par exemple hydrostatique), le respect des régimes Les voix de la recherche - #70 - Clefs
Équations d’Euler Méthode numérique lagrangienne Ot) + V pu = Or pu + V puOu+Vp= 0 at pE + puE + V pu = 0, avec p = p(p, E — 2u u). iiege>etered:5. ;11.* wvvv E, Ci, ur, Mirai + E, Pj,Cjr = 0, MicIt Ei + I, C » Pjrur = 0, avec p » — pi + pici(u, — tki) = 0, et Ei Cjrpjr = asymptotiques (par exemple la limite incompressible), l’appartenance des solutions discrètes au domaine de validité du modèle (croissance de l’entropie, positivité de la masse volumique et de la température...). D’autres interrogations d’ordre mathématique sont soulevées par la précision de l’approximation (écart entre les solutions du modèle et celles du schéma), comme l’ordre de convergence ou l’estimation d’erreurs a priori et a posteriori. Enfin, il revient également au numéricien de vérifier la validité du modèle (par exemple l’existence de Leonhard Euler (1707 - 1783) Mathématicien et physicien suisse, fit d’importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes. Il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l’analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique. Simulation numérique Georg Friedrich Bernhard Riemann(1826 -1866), Mathématicien allemand, influent sur le plan théorique, il a apporté de nombreuses contributions importantes à la topologie, l’analyse, la géométrie différentielle et le calcul, certaines d’entre elles ayant permis par la suite le développement de la relativité générale. solutions). Le CEA travaille en permanence à la définition de nouveaux schémas numériques ou à l’évolution des schémas existants (amélioration de la précision et de la robustesse ou extension à des physiques complexes). Cela permet à la DAM de mener des simulations précises et robustes (nécessitant plusieurs dizaines de milliers de cœurs de calcul pendant des semaines) comme le montrent les illustrations. Des exemples de travaux novateurs réalisés à la DAM sont régulièrement répertoriés dans la revue Chocs Avancées [2]. ANALYSE NUMÉRIQUE John von Neumann(1903 - 1957) Mathématicien et physicien américano-hongrois, a travaillé tant en mécanique quantique qu’en analyse fonctionnelle, en théorie des ensembles, en informatique, en sciences économiques ainsi que dans beaucoup d’autres domaines des mathématiques et de la physique. Il a également participé aux programmes militaires américains. LES OUTILS Fragmentation d’un cylindre d’acier sous l’effet d’une explosion. Peter David Lax (1926 -) Mathématicien américain d’origine hongroise, travaille dans le domaine des mathématiques pures et appliquées. Il a fait d’importantes contributions aux systèmes intégrables, à la dynamique des fluides et aux ondes de choc, aux lois de conservation hyperboliques et au calcul mathématique et scientifique, entre autres domaines. Clefs - #70 - Les voix de la recherche Sacrées mathématiques ! - 25



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