Clefs n°70 mars 2020
Clefs n°70 mars 2020
  • Prix facial : gratuit

  • Parution : n°70 de mars 2020

  • Périodicité : annuel

  • Editeur : CEA

  • Format : (230 x 280) mm

  • Nombre de pages : 52

  • Taille du fichier PDF : 7,8 Mo

  • Dans ce numéro : sacrées mathématiques !

  • Prix de vente (PDF) : gratuit

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LES OUTILS ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES CONTRIBUTEURS (Direction de l’énergie nucléaire) Erell Jamelot est chercheure au Laboratoire de modélisation et simulation en mécanique des fluides (Département de modélisation des systèmes et structures) du CEA. Nicolas Dorville est chef du Laboratoire de modélisation et simulation en mécanique des fluides (Département de modélisation des systèmes et structures) du CEA. Pascal Omnes est directeur de recherche au Laboratoire de modélisation et simulation en mécanique des fluides (Département de modélisation des systèmes et structures) du CEA. 18 - Sacrées mathématiques ! Simuler les écoulements Les équations de Navier-Stokes incompressibles [1] sont parmi les modèles les plus utilisés pour décrire les mouvements d’un fluide newtonien [2] liquide ou gazeux, avec des applications en météorologie, dynamique des océans, aéronautique, automobile... Elles tiennent leur nom des travaux du Français Navier et du Britannique Stokes qui ont, au XIX e siècle, complété le travail d’Euler en y introduisant la notion de viscosité. Dans l’industrie nucléaire, elles constituent le modèle de base décrivant l’écoulement de l’eau sous pression dans les cœurs de réacteur, hors phénomènes thermiques. Ces équations, d’inconnues (le champ de vitesse tridimensionnel du fluide) et p le champ de pression, font intervenir ν la viscosité dynamique du fluide, f la résultante des forces extérieures agissant sur le fluide. En notant Ω le domaine physique et T le temps final de l’étude, elles s’écrivent  : (1) ⎧ ⎨ ⎩ ∂u ∂t – ν∆u + (u ∙) u + p = f dans (0,T) ×, ∙ u = 0 dans (0,T) ×, qu’on doit compléter avec des conditions initiales et des conditions aux limites adéquates. La première de ces deux équations n’est autre que la loi de Newton, tandis que la seconde découle de la conservation de la masse dans le cas d’un fluide incompressible. Bien qu’étudiées depuis de nombreuses décennies sur le plan mathématique, ces équations sont loin d’avoir livré tous leurs secrets ! En particulier, des résultats d’existence et de régularité en temps long en trois dimensions d’espace font l’objet de l’un des sept Prix du Millénaire proposés par le Clay Mathematics Institute [3]. L’approximation numérique de ces équations est également un défi car des difficultés majeures se cumulent  : le caractère tridimensionnel et instationnaire, la contrainte de divergence nulle et enfin la non-linéarité du terme de convection (∙). Ce dernier est la cause de la présence de turbulence lorsque les phénomènes convectifs dominent les phénomènes diffusifs, ce rapport inertie/diffusion étant caractérisé par le nombre sans dimension de Reynolds Re=UD/ν où U et D sont respectivement des échelles de vitesse et de longueur représentatives de l’écoulement. Lorsque le nombre de Reynolds croît, l’écoulement passe d’un régime laminaire (faible agitation, champ de vitesse à faibles variations) à un régime turbulent (champ de vitesse fortement tD Les voix de la recherche - #70 - Clefs
variable en espace et en temps, structures de tailles multiples, forte agitation). Pour simuler numériquement toutes les échelles de la turbulence dans un écoulement tridimensionnel, le nombre de cellules du maillage sur lequel la simulation s’appuie doit varier comme Re 9/4, ce qui devient rapidement impossible lorsque Re est élevé. Des modèles dits de Simulation aux Grandes Echelles (LES) permettent alors de ne simuler numériquement que ces dernières, en modélisant l’effet des petites échelles sur la dynamique des grandes échelles. Développé au CEA, TrioCFD [4] est un code de référence pour la thermohydraulique monophasique des réacteurs nucléaires. Ce code, parallélisé, permet de résoudre les équations de Navier-Stokes incompressibles couplées ou non avec un modèle de turbulence. La vitesse et la pression du fluide sont approchées par des polynômes de bas degré sur un maillage cartésien ou de simplexes. Nous mettons actuellement en œuvre plusieurs développements destinés à rendre les simulations toujours plus rapides et précises  : la méthode de décomposition de domaine, qui consiste à réécrire le problème global (1) en des sous-problèmes locaux s’échangeant des informations aux interfaces. Objectif  : disposer d’une méthode de parallélisme hybride adaptée aux architectures des ordinateurs les plus récents ; Fig. 1  : Norme de la vitesse Maillage grossier, 8 ×16 cellules. Calcul multi-échelles. les éléments finis multi-échelles, qui permettent de capturer à moindre coût les effets dus aux hétérogénéités du milieu dans lequel s’écoule le fluide. Il s’agit de calculer en parallèle des fonctions de base numériques localement associées aux cellules d’un maillage grossier, en maillant finement ces dernières. La figure 1 compare les résultats d’un calcul multi-échelles effectué sur un maillage grossier de 128 cellules et d’un calcul de référence effectué sur un maillage fin de 2×10 6 cellules ; ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES les estimateurs d’erreur a posteriori, qui estiment localement l’écart entre la solution exacte de (1) et son approximation numérique. Ceci permet les raffinements adaptatifs de maillage et de pas de temps, en minimisant le nombre de degrés de liberté nécessaire, et donc le temps de calcul, pour obtenir une précision donnée ; la méthode des éléments finis de Galerkin discontinue, qui permet d’adapter localement la forme des mailles et l’ordre d’approximation polynomial, ce qui apporte un gain en précision, une meilleure modélisation des écoulements laminaires ou turbulents. Nous développons également de nouvelles fonctionnalités  : l’interaction fluide-structure à l’échelle locale, afin d’étudier la dynamique de l’assemblage combustible sous écoulement et excitation mécanique externe ; la quantification des incertitudes, afin d’évaluer les variations de la solution approchée de (1) dues aux variations des données. Maillage fin, 2×10 6 cellules. Calcul de référence. LES OUTILS « Bien qu’étudiées depuis de nombreuses décennies sur le plan mathématique, ces équations sont loin d’avoir livré tous leurs secrets ! » [1] Il existe aussi une version compressible de ces équations, que nous n'aborderons pas ici. [2] Un fluide est dit newtonien lorsque sa loi contrainte de cisaillement - vitesse de déformation est linéaire. [3] Description sur www.claymath.org/sites/default/files/navierstokes.pdf [4] http://triocfd.cea.fr/Clefs - #70 - Les voix de la recherche Sacrées mathématiques ! - 19



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