Clefs n°70 mars 2020
Clefs n°70 mars 2020
  • Prix facial : gratuit

  • Parution : n°70 de mars 2020

  • Périodicité : annuel

  • Editeur : CEA

  • Format : (230 x 280) mm

  • Nombre de pages : 52

  • Taille du fichier PDF : 7,8 Mo

  • Dans ce numéro : sacrées mathématiques !

  • Prix de vente (PDF) : gratuit

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LES OUTILS COMBINATOIRE PAR FRANÇOIS DAVID (CNRS) François David est Directeur de recherche au CNRS. Il dirige l’Institut de physique théorique (unité mixte CEA/CNRS) de Saclay. RELATIVITÉ GÉNÉRALE Théorie créée par Albert Einstein en 1917 qui formule la gravité comme une déformation (courbure) dynamique de la structure de l’espace-temps. La matière et la gravité elle-même causent cette courbure, engendrant les forces de gravitation. SUPERPOSITION QUANTIQUE Vecteur d’état quantique Ψ〉 de type « chat de Schrödinger », combinaison linéaire d’états classiques, par exemple  : Ψ1〉=A〉 +B〉 ou Ψ2〉 =A〉 -B〉. ROTATION DE WICK Du nom du physicien italien Gian-Carlo Wick (1909-1992), connu pour ses travaux en théorie quantique des champs et en physique mathématique. 16 - Sacrées mathématiques ! Gravité quantique et géométries aléatoires Car il ne s’agit rien de moins que de comprendre ce que peut être un « espace-temps quantique ». En mécanique quantique, une particule peut être dans une superposition quantique de plusieurs états classiques (par exemple, être « à la fois au point A et au point B ») et son évolution quantique est décrite par une superposition quantique complexe de trajectoires classiques (d’où découlent les interférences quantiques). C’est le principe de « l’intégrale de chemin » ou « somme quantique sur les histoires » de Feynman. En relativité générale, c’est la géométrie courbe de l’espace-temps elle-même qui est la variable dynamique. Il faut construire une théorie cohérente des superpositions quantiques de tous les espace-temps, une « somme quantique sur toutes les géométries ». Une configuration correspondante de la métrique de la surface, ici discrétisée et représentée par un plongement de la surface en trois dimensions. Si la gravité est classiquement très bien décrite par la relativité générale d’Einstein, sa quantification reste un sujet encore ouvert, malgré les avancées de certaines approches, dont la théorie des cordes. Du quantique aux probabilités Construire une telle somme s’avère un problème redoutable ! Une voie possible repose sur une astuce bien connue en physique quantique  : passer d’un « temps réel » (le temps t des physiciens basé sur la causalité) à un « temps imaginaire » t p√-1t, par une opération mathématique appelée « rotation de Wick ». Miracle n°1  : les superpositions quantiques de géométries deviennent des mélanges statistiques et on en revient à un domaine bien connu des physiciens et des mathématiciens, la théorie des probabilités et des processus stochastiques. En particulier, les trajectoires d’une particule quantique deviennent des marches aléatoires (des chemins browniens), étudiées par Einstein dès 1905. Miracle n°2  : pour la gravité, l’espace-temps de Minkowski devient l’espace Les voix de la recherche - #70 - Clefs
euclidien de la géométrie classique (d’Euclide, de Descartes et de Riemann). Nous avons donc affaire à un problème beaucoup plus difficile de géométries continues aléatoires (géométrie et probabilités). Ce chemin d’attaque (gravité quantique euclidienne) date des années 1970 et a été notamment initié par Bryce DeWitt et Stephen Hawking. Gravité 2D et surfaces Pour un espace-temps en deux dimensions (une de tempst, une d’espace x), nous ne sommes pas loin de la théorie des cordes et du problème de comptage des surfaces (voir page 13). Mais là où Bertrand Eynard traite de « combinatoire » (compter des configurations et des agencements) et de « topologie » (étudier des classes de formes), nous discutons ici de « géométries » et de « probabilités » continues. Théorie de Liouville En 1981, le célèbre théoricien Alexander Polyakov montra que la gravité en deux dimensions se reformule comme une théorie quantique des champs, la « théorie de Liouville ». Très schématiquement, Une configuration du facteur d’échelle métrique dans la théorie de Liouville, son caractère fractal en fait une distribution. Alexander Polyakov (1945 -) est un physicien théoricien russe connu pour ses contributions à la théorie quantique des champs, la théorie des cordes et la physique statistique. Bryce DeWitt (1923 - 2004), physicien américain, a formulé une des premières approches de quantification de la théorie de la relativité générale. COMBINATOIRE imaginez un espace-temps où le facteur d’échelle de la métrique est aléatoire, soit en fait l’exponentielle d’un objet aléatoire très singulier, le « champ libre gaussien » (GFF = généralisation du mouvement brownien en 1+1 dimension). La théorie de Liouville est un objet fascinant, qui possède une propriété remarquable, celle « d’invariance conforme », un groupe de symétrie infini ! Elle prédit que l’espace-temps quantique 2D est fractal, et même multifractal. Elle continue d’occuper les physiciens et les mathématiciens depuis bientôt 40 ans ! Le GFF et la théorie de Liouville sont étudiés par plusieurs groupes de théoriciens de l’IPhT, en particulier du point de vue de la théorie des probabilités et des géométries aléatoires. Récemment, des collaborations entre l’IPhT et des mathématiciens ont permis d’obtenir des résultats rigoureux par l’approche probabiliste, et de préciser les résultats et les prédictions des physiciens théoriciens. Ces résultats ont des retombées non seulement en gravité quantique, mais en physique de la matière condensée ! L’étude de l’espace-temps quantique est loin d’être terminée ! Théorie quantique des champs Théorie quantique pour des champs continus dans l’espace. L’exemple emblématique est l’électrodynamique quantique (QED). Les interactions fondamentales (électro-faibles et fortes) sont décrites par une telle théorie (le modèle standard). Théorie de Liouville Du nom du mathématicien français Joseph Liouville (1809-1882), qui contribua à divers domaines, dont la théorie des nombres, l’analyse complexe, la géométrie et la topologie différentielles, mais aussi la physique mathématique et même l’astronomie Facteur d’échelle Λ Intervalle d’espace-temps de la métrique, de la forme ds 2 = Λ(X)(dt 2 -dx 2) , avec Λ une fonction de dilatation/contraction des coordonnées X =(t,x) arbitraire. Stephen Hawking (1942 - 2018) est un physicien théoricien et cosmologiste britannique. LES OUTILS Clefs - #70 - Les voix de la recherche Sacrées mathématiques ! - 17



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