Clefs n°70 mars 2020
Clefs n°70 mars 2020
  • Prix facial : gratuit

  • Parution : n°70 de mars 2020

  • Périodicité : annuel

  • Editeur : CEA

  • Format : (230 x 280) mm

  • Nombre de pages : 52

  • Taille du fichier PDF : 7,8 Mo

  • Dans ce numéro : sacrées mathématiques !

  • Prix de vente (PDF) : gratuit

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LES OUTILS COMBINATOIRE Fig. 1  : schéma du modèle d’exclusion à bords ouverts  : les particules sont transférées du réservoir de gauche vers celui de droite en passant par un réseau conducteur de longueurL. On cherche à déterminer les propriétés statistiques du courant de particules à travers le système. PAR KIRONE MALLICK (Direction de la recherche fondamentale) Kirone Mallick est chercheur à l’Institut de physique théorique (unité mixte CEA/CNRS) de Saclay. [1] D. Aldous and P.Diaconis, Longest increasing subsequences : from patience sorting to the Baik-Deift-Johansson theorem, Bull. Amer. Math. Soc. 36 (1999), 413-432. [2] T. Imamura, K. Mallick and T. Sasamoto  : Large Deviations of a tracer in the symmetric exclusion process, Phys. Rev. Lett. 118 160601 (2017). 14 - Sacrées mathématiques ! RÉSERVOIR L Propriétés statistiques des systèmes hors d’équilibre L’eau, la glace et la vapeur nous paraissent fort dissemblables, bien qu’elles soient constituées de molécules identiques. Une formule chimique ne dit pas tout  : à partir des mêmes briques, on peut édifier des bâtiments très différents ! L’objectif de la physique statistique est de comprendre comment les entités élémentaires qui forment notre monde - particules, atomes, molécules - s’agencent pour produire l’incroyable variété de phénomènes qui nous entourent, de la matière inerte à la vie, des flux d’énergie et d’information aux réseaux urbains. La physique statistique explique l’émergence des lois macroscopiques et de la complexité à partir des lois fondamentales qui régissent les interactions au sein de la matière ; les outils mathématiques de la combinatoire et de la théorie des probabilités - les lois du hasard - y jouent un rôle fondamental. Pour des systèmes à l’équilibre, ce projet s’incarne dans les principes de la thermodynamique, qui reposent sur les concepts d’énergie et d’entropie, dont Ludwig Boltzmanndonna une élégante définition combinatoire. La physique statistique d’équilibre atteint son apogée dans les années 1970 et 1980, par la théorie du groupe de renormalisation (due notamment à Kenneth Wilson) qui prédit l’apparition de lois universelles, dotées de structures mathématiques précises, qu’on peut classer et caractériser. Toutefois, dans la nature, de nombreux systèmes (en biologie par exemple) présentent un échange permanent de matière, d’énergie ou d’information avec leur environnement et sont très loin de l’équilibre thermodynamique. Construire une théorie générale permettant de décrire de tels processus est l’une des questions ouvertes de la physique théorique contemporaine. RÉSERVOIR 2 Entre phénoménologie et lois générales Les notions de température, chaleur, travail, rendement ou entropie perdent leur pertinence loin de l’équilibre  : il faut de nouveaux concepts et des outils mathématiques originaux. Deux stratégies de recherche ont été adoptées  : la première, plus phénoménologique, cherche à étendre les lois de la thermodynamique ; la seconde, que nous privilégions ici, se fonde sur des modèles simples et tente de dégager leurs structures mathématiques, qui serviront de pierres de touche pour énoncer des lois générales. Un phénomène hors d’équilibre élémentaire est fourni par le transport d’un courant de matière dans un conducteur. Afin de modéliser cette situation, on a recours à des systèmes de particules en interaction avec des contraintes qui induisent des comportements dynamiques collectifs. Chaque particule est figurée par un marcheur aléatoire qui se déplace en sautant de proche en proche d’un site vers l’un de ses voisins. Toutefois, deux particules ne peuvent se trouver sur un même site au même instant (Fig. 1). Cette contrainte d’exclusion suffit à incorporer des effets dynamiques collectifs, et dote le problème d’une riche structure combinatoire qui le rend analysable. Du fait de sa simplicité, ce modèle apparaît dans des branches Les voix de la recherche - #70 - Clefs
variées de la physique, aussi bien pour comprendre la saltation des électrons ou le transport de macromolécules dans des vaisseaux capillaires fins, que pour représenter le trafic routier. Le processus d’exclusion peut également être vu comme un modèle de croissance. On peut coder une configuration de particules selon la convention suivante  : on associe à un site vide un segment de pente +1 (orienté à + 45°) et à un site occupé un segment de pente -1 (orienté à - 45°). Le saut d’une particule vers la droite modifie la figure par l’insertion d’un carré, tourné de 45° ; un saut vers la gauche correspond à l’évaporation d’un tel carré (Fig. 2). L’évolution du système de particules correspond à la dynamique de cette ligne brisée (ou interface). On montre alors que le courant de particules est lié à la hauteur de l’interface. De tels processus de croissance stochastique forment un domaine actif de la physique statistique hors d’équilibre. En 1986, Mehran Kardar, Giorgio Parisi et Yi-Cheng Zhang ont proposé une équation universelle, dite de KPZ, pour les décrire  : ∂h ∂t Le champ des probabilités intégrables Les méthodes utilisées pour résoudre ces modèles trouvent leur origine dans l’analyse du magnétisme quantique par Hans Bethe en 1931. L’astuce qu’il utilisa est devenue une branche de la physique mathématique, la théorie des systèmes intégrables. Depuis une dizaine d’années, ces outils sont utilisés ∂ 2 h ∂x 2 λ 2 ∂h ∂x 2 (x,t) =ν + + ξ Fig. 2  : le modèle de particules est mis en correspondance exacte avec un processus de croissance d’interface  : faire avancer une particule d’un site équivaut à ajouter une brique qui fait progresser l’interface. Ces deux modèles sont statistiquement équivalents. en mathématiques et fondent le champ des probabilités intégrables. On montre ainsi que le courant transporté dans le processus d’exclusion - ou de manière équivalente la solution de l’équation de KPZ - se comporte, sous des hypothèses idoines, de la même manière que la plus longue sous-suite croissante d’une énumération d’entiers ou que la hauteur d’un tas de cartes dans une « réussite » [1]. Tous ces problèmes appartiennent à la même classe d’universalité et sont régis par les mêmes lois mathématiques, notamment par la distribution de Tracy-Widom (voir p.12). Terminons ce bref survol par une application au transport en file unique (Fig. 3)  : des molécules se déplaçant dans des canaux quasi-unidimensionnels avec une contrainte de volume exclu (elles ne peuvent pas se dépasser) présentent une diffusion anormale en racine-quatrième du temps. Ce phénomène est observé couramment dans les laboratoires, par exemple à travers les pores de membranes biologiques. Grâce à la théorie des probabilités intégrables, il est possible de trouver une formule fermée exacte pour la loi de probabilités qui régit la position d’une molécule donnée et ainsi résoudre un problème ouvert depuis quatre décennies. Notre étude [2] se généralise en présence d’un potentiel de forçage qui impose un courant permanent, loin de l’équilibre. La loi trouvée n’est pas gaussienne mais présente une forme (dite déterminantale) apparentée aux distributions de Tracy-Widom  : ces structures mathématiques communes semblent donc déterminantes pour mieux comprendre la physique loin de l’équilibre. COMBINATOIRE  : Hans Bethe (1906 - 2005) Physicien américain d’origine allemande, lauréat du prix Nobel de physique en 1967. Fig. 3  : diffusion normale et diffusion en file indienne  : en haut, les particules sont beaucoup plus petites que le diamètre du tube, elles peuvent se dépasser librement et chacune diffuse normalement, comme la racine-carrée du temps. En revanche, en bas, les particules bleues sont trop volumineuses pour pouvoir se dépasser  : leur position fluctue alors comme la racine quatrième du temps. LES OUTILS Clefs - #70 - Les voix de la recherche Sacrées mathématiques ! - 15



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