Clefs n°70 mars 2020
Clefs n°70 mars 2020
  • Prix facial : gratuit

  • Parution : n°70 de mars 2020

  • Périodicité : annuel

  • Editeur : CEA

  • Format : (230 x 280) mm

  • Nombre de pages : 52

  • Taille du fichier PDF : 7,8 Mo

  • Dans ce numéro : sacrées mathématiques !

  • Prix de vente (PDF) : gratuit

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LES OUTILS COMBINATOIRE [3] Voir le livre  : Dan Romik. The surprising mathematics of longest increasing subsequences. Institute of Mathematical Statistics Textbooks. Cambridge University Press, New York, 2015. Livre gratuitement téléchargeable à l’adresse https://www.math.ucdavis.edu/romik/book/. [4] Dan Betea and Jérémie Bouttier. The periodic Schur process and free fermions at finite temperature. Math. Phys. Anal. Geom., 22:3, 2019. Ce travail est partiellement financé par l’Agence nationale de la recherche (projet ANR-18-CE40-0033). L’auteur remercie Dan Betea pour son aide précieuse dans la préparation de cet article. Hll,Ep, 2 10 2 7,EER> 2 7 3 3 10 3 3 10 1 2 4 71 112 4 7 11 3 1 52 10 4 7 113 5 10 3 5 10 6 9 6 9 6 8 8 8 15 2 6 15 3 10 3 7 Qu’en est-il dans le cas de la longueur l(n) d’une plus longue sous-suite croissante ? De manière surprenante, le résultat s’avère complètement différent  : au premier ordre, l(n) est proche de la valeur déterministe 2√n au second ordre, la fluctuation l(n) − 2√n a pour ordre de grandeur n 1/6, et sa distribution tend vers une loi différente de la loi normale, appelée loi de Tracy-Widom d’indice β = 2 (voir Fig. 1). Si le résultat au premier ordre a été établi dans les années 70, le second ordre ne l’a été qu’en 1999, au terme de plusieurs décennies de travaux [3]. Ce sont finalement Jinho Baik, Percy Deift et Kurt Johansson † Diagramme de Young qui ont établi le lien avec la loi de Tracy-Widom dans un article remarqué, reposant sur la théorie des systèmes intégrables. Leur travail fut très vite suivi d’autres approches  : l’une d’elles, développée par Andrei Okounkov, utilise un lien particulièrement astucieux avec un problème de comptage de surfaces (voir p.13) qu’on peut lui-même lier à la gravité quantique (voir p.16) ; une autre, plus élémentaire, emploie la méthode des processus déterminantaux. Ainsi le problème des plus longues sous-suites croissantes se trouve-t-il à l’interface de thématiques très diverses. Les méthodes développées pour l’étudier ont trouvé, depuis lors, bien d’autres applications, par exemple aux fermions à température finie [4]. Elles sont également à la base d’un domaine de recherche actuellement très actif, les probabilités intégrables, dans lequel plusieurs chercheurs de l’IPhT sont impliqués. Fig. 3  : un diagramme de Young obtenu en appliquant l’algorithme de Schensted avec une donnée initiale aléatoire. Lorsque le nombre de cases devient très grand, le diagramme prend une forme qui n’est plus aléatoire mais déterministe. Ce phénomène de « forme-limite » est déjà visible sur cette simulation artistique, effectuée par ordinateur mais réalisée en Lego par Dan Betea (d’autres œuvres de Dan peuvent être admirées à la bibliothèque de l’Institut Henri Poincaré à Paris). 03 23 10 2 10 7 2 7 15 102 27 15 6 15 2 Un 6diagramme 15 de Young est un dessin constitué de cases carrées, formant des lignes alignées à gauche, telles que la longueur 3 3 10 3 10 3 10 3 7 3 des 7lignes décroît lorsqu’on descend vers le bas. Un tableau de Young est un diagramme dont les cases sont numérotées, 10 T 10de telle sorte que les nombres croissent de gauche à droite et de haut en bas. Il est dit standard s’il contient tous les nombres de 1 jusqu’àn, où n est le nombre de cases du diagramme (Fig. 2). Fig. 2  : en haut à gauche  : un diagramme de Young de forme (5, 3, 2, 1). Les diagrammes et tableaux de Young sont des objets très étudiés en mathématiques, particulièrement dans le domaine En haut à droite  : un tableau de Young standard de la combinatoire algébrique et de la théorie des représentations. correspondant au diagramme précédent. Leur lien avec les plus longues sous-suites croissantes provient de l’algorithme de Schensted (1961) qui, étant donné une suite En bas  : application de l’algorithme de de nombres, produit un tableau de Young (Fig. 2). L’idée fondamentale de cet algorithme est d’insérer un à un les nombres dans le Schensted à la suite (3, 10, 2, 7, 15, 6). tableau, en respectant la contrainte que les lignes et colonnes doivent être ordonnées  : un nouvel élément sera inséré dans la La longueur maximale d’une sous-suite première ligne, soit tout à droite s’il est plus grand que tous les autres, soit à la place d’un autre élément plus grand, qui sera alors croissante de cette suite est de 3, et on pourra inséré dans la deuxième ligne, et ainsi de suite. On fait ainsi « grandir » le tableau au fur et à mesure de l’exécution de l’algorithme, observer qu’elle est égale à la longueur de la et on peut voir que la longueur de la première ligne du tableau correspond à celle d’une plus longue sous-suite croissante. première ligne du tableau final (ceci n’est pas une coïncidence mais un fait général que le lecteur Lorsque l’algorithme est exécuté sur une suite de nombres aléatoires, le tableau de Young qui est produit « tend » vers une forme pourra chercher à démontrer). déterministe. En particulier, la longueur du bord haut de cette forme donne l’équivalent asymptotique au premier ordre l(n) ∼ 2√n. 12 - Sacrées mathématiques ! Les voix de la recherche - #70 - Clefs
Compter les surfaces COMBINATOIRE La physique des particules supposées « ponctuelles » se heurte à un problème fondamental  : deux particules de taille zéro se rencontrent à une distance zéro, avec une énergie d’interaction infinie (énergie en 1/distance). La théorie des cordes propose d’y remédier en considérant des particules étendues, en forme de segments ou de cercles de taille non-nulle. En se déplaçant, ces particulescordes ont des trajectoires qui sont des surfaces. Il s’agit alors de compter les nombres de trajectoires arrivant à un état final donné, c’est-à-dire le nombre de surfaces se terminant sur une position donnée des particules  : autrement dit, « compter des surfaces ». D’autres exemples de comptage de surfaces viennent de la physique statistique  : l’interface entre 2 liquides non-miscibles (avec par exemple des propriétés électriques, magnétiques, viscosité, etc.), est une surface fluctuante, aléatoire. L’entropie thermodynamique revient à compter le nombre de configurations qui ont une énergie donnée, une aire donnée, une aimantation donnée…. Une autre méthode encore consiste à considérer d’abord des surfaces « fil de fer », par exemple le nombre de surfaces en forme de sphère qu’il est possible de former en collant 8 triangles (réponse  : 4096) ou 16 triangles (réponse  : 184 549 376). Ces nombres étant trop grands pour être comptés à la main, il faut inventer des méthodes avancées de calcul. C’est le cas pour les surfaces triangulées sphériques depuis les années 1960, mais comment faire pour les surfaces avec 1 trou, 2 trous… ? Une récurrence pour les compter toutes Introduite à l’IPhT en 2007, la récurrence topologique, est une formule qui permet de compter les surfaces de n’importe quelle forme, une fois qu’on sait compter les disques (surfaces avec un bord et sans trou). Schématiquement, on compte les surfaces en les coupant en morceaux élémentaires. Cette formule universelle a permis de résoudre un grand nombre de problèmes de comptage de surfaces et débouché sur de nombreux développements en géométrie et en physique mathématique. De nouveaux invariants mathématiques Partant de la « fonction de comptage » des disques, la récurrence topologique engendre toute une suite d’autres fonctions  : les fonctions de comptage des surfaces à g trous et n bords. Et que se passe-t-il si, au lieu d’une fonction de comptage de disques d’un certain type de surfaces, on choisit une fonction arbitraire ? La récurrence topologique engendre alors une suite de fonctions, qui sont appelées les « invariants » de la fonction de départ. Ceux-ci ont des propriétés mathématiques fascinantes et suscitent un grand intérêt en mathématiques. La plupart des « invariants classiques de géométrie » se sont révélés en être des cas particuliers, comme les volumes de Maryam Mirzakhani issus de la fonction Sinus ou les nombres d’intersection de Witten-Kontsevich tirés de la fonction racine carrée... Les invariants de la récurrence topologique soulèvent aussi de grands mystères  : quand ils ne comptent pas des surfaces, que comptent-ils ? Pourquoi sont-ils omniprésents en géométrie et dans de nombreux domaines de la physique mathématique ? † Le projet ReNewQuantum En physique quantique, les solutions exactes des équations sont rares et on a donc besoin de solutions approchées. Les méthodes d’approximation consistent à dire qu’un système quantique est une déformation d’un système classique. Partant d’une équation classique, on applique des corrections, puis on corrige les corrections et ainsi de suite. Richard Feynman avait trouvé un moyen de calculer les corrections successives par des diagrammes. Mais les diagrammes de Feynman sont de plus en plus nombreux et au lieu de diminuer, les corrections successives se mettent à augmenter  : la série d’approximations successive est divergente ! Les mathématiciens ont développé la théorie des séries de perturbations divergentes mais, pour être applicable, celle-ci demande une compréhension fine de chaque correction et, à l’heure actuelle la compréhension de chaque diagramme de Feynman LES OUTILS PAR BERTRAND EYNARD (Direction de la recherche fondamentale) Bertrand Eynard est directeur de recherche au CEA. Il travaille à l’Institut de physique théorique (unité mixte CEA/CNRS) de Saclay. est au-delà de ce que nous savons faire. Toutefois, dans tous les exemples associés aux comptages de surfaces, la suite des corrections peut aussi se calculer par la récurrence topologique plutôt que par les diagrammes de Feynman, avec comme fonction l’énergie classique du système (appelée le Hamiltonien), et tout porte à croire que ceci est généralisable aux systèmes non-associés à des dénombrements de surfaces. La récurrence topologique permet alors la compréhension mathématique fine qui manquait pour appliquer la théorie des séries divergentes. C’est l’objectif du projet ReNewQuantum, initié en 2019  : utiliser la récurrence topologique pour calculer efficacement les corrections divergentes des théories quantiques. À suivre donc ! Clefs - #70 - Les voix de la recherche Sacrées mathématiques ! - 13



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