Clefs n°70 mars 2020
Clefs n°70 mars 2020
  • Prix facial : gratuit

  • Parution : n°70 de mars 2020

  • Périodicité : annuel

  • Editeur : CEA

  • Format : (230 x 280) mm

  • Nombre de pages : 52

  • Taille du fichier PDF : 7,8 Mo

  • Dans ce numéro : sacrées mathématiques !

  • Prix de vente (PDF) : gratuit

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LES OUTILS///0 5 10 14 16 16 Fig. 2  : sens de parcours du boustrophédon o 0 3 1 2 4 1 0 1 0 0 1 2 2 5 5 4 2 0 i Fig. 3  : ordre cyclique satisfaisant certaines conditions Cette disposition circulaire des nombres de 0 à 4 satisfait les conditions suivantes. Partant de 0 et tournant dans le sens horaire, on rencontre 1 avant de rencontrer 2. Partant de 1, on rencontre 2 avant 3 et partant de 2, on rencontre 3 avant 4. Il y a au total E 3 = 5 façons de disposer circulairement les nombres de 0 à 4 afin de satisfaire ces conditions. [1] Extensions of partial cyclic orders and consecutive coordinates polytopes. A. Ayyer, M. Josuat-Vergès et S. Ramassamy, à paraître dans les Annales Henri Lebesgue (2020) et disponible sur  : arxiv.org/abs/1803.10351 10 - Sacrées mathématiques ! COMBINATOIRE 1 0 1 0 0 1 2 2 5 5 4 2 0 0 5 10 14 16 16 Ce triangle de nombres se remplit donc de haut en bas, en parcourant les lignes paires de gauche à droite et les lignes impaires de droite à gauche (Fig. 2), à la manière d’un bœuf labourant un champ, d’où l’appellation boustrophédon (qui se traduit approximativement du grec ancien par « à la manière d’un bœuf qui tourne »). Le nombre E n se lit comme le terme le plus à gauche de la (n+1)-ème ligne si n est pair ou le plus à droite de la (n+1)-ème ligne si n est impair. Le boustrophédon date de plus de cent ans et de nombreuses variantes ont vu le jour depuis lors. Récemment, avec mes collègues Arvind Ayyer, professeur à l’Indian Institute of Science à Bangalore SÉRIES GÉNÉRATRICES Les séries génératrices constituent un moyen compact d’encoder une suite de nombres par une fonction. Étant donnée une suite (u n) n ≥ 0, on définit la série génératrice exponentielle de (u n) comme la fonction  : u f(x) = ∑ ∞ n x n ! n n-0 Par exemple, la série génératrice exponentielle de la suite constante égale à 1 est f (x)=e x. En général, on peut retrouver la suite (u n) à partir de sa série génératrice exponentielle g (x) en considérant les dérivées successives en 0 de g. Dans certains cas (comme celui des nombres E n de permutations alternantes), le terme général de la suite un n’a pas d’expression simple, tandis que la série génératrice exponentielle de cette suite s’exprime par une formule simple. Fig. 1 : les six premières lignes du boustrophédon La troisième ligne de ce triangle est 0 car il y a une permutation alternante à 3 éléments dont le dernier nombre est 1, une permutation alternante à 3 éléments dont le dernier nombre est 2 et aucune permutation alternante à 3 éléments dont le dernier nombre est 3. APPROXIMATIONS RATIONNELLES DE π Les nombres E n permettent de construire des approximations rationnelles du nombre π. En effet, la suite 2nE n-1/E n converge vers π. Par exemple, en prenant n = 7, on trouve 2 x 7 x 61/272 = 427/136 qui vaut environ 3,1397. et Matthieu Josuat-Vergès, chargé de recherche à l’Institut de recherche en informatique fondamentale (CNRS/Université de Paris), nous l’avons appliqué à un problème d’énumération d’ordres cycliques [1]. Combien y a-t-il de façons de disposer circulairement les nombres de 0 à n de telle sorte que pour tout nombre i entre 0 et n-2, lorsqu’on part de i et qu’on tourne dans le sens horaire, on rencontre i+1 avant de rencontrer i+2 ? La réponse est encore le nombre E n (Fig. 3). Lorsqu’on impose des conditions sur les positions d’un plus grand nombre d’entiers consécutifs (par exemple 4 nombres consécutifs  : i, i+i, i+2 et i+3), le problème d’énumération se résout en introduisant des versions multidimensionnelles du boustrophédon. Plutôt qu’un triangle de nombres, on construit un simplexe de nombres, qui est la généralisation en dimensions supérieures du triangle (un simplexe de dimension trois est un tétraèdre). Les voix de la recherche - #70 - Clefs
1200 1000 800 600 400 200 0 Fig. 1 : en bleu, l’histogramme de 10 000 tirages de l (n) pour n = 4096  : on observe qu’ils tombent tous dans l’intervalle [110, 136]. Cet intervalle contient bien la valeur déterministe attendue au premier ordre  : 2√n = 128, tandis que l’écart-type de la distribution (fluctuation) a bien l’ordre de grandeur attendu  : n 1/6 = 4. En rouge, la densité de la distribution de Tracy-Widom d’indice β = 2, qui donne la forme attendue de l’histogramme dans la limite n → ∞. On observe que le pic de l’histogramme ne tombe pas sur 128 mais légèrement en-dessous  : ceci est lié à l’asymétrie de la distribution de Tracy-Widom, qui diffère de la loi normale qui est, elle, symétrique. Cette simulation a été réalisée avec le logiciel libre SageMath, dans lequel un tirage de l(4096) s’effectue avec la simple commande  : Permutations(4096).random_element().longest_increasing_subsequence_length().) - - - - - - - - - - 110 115 120 125 130 135 La richesse inattendue du problème des plus longues sous-suites croissantes Considérons une suite de nombres de longueur finie, par exemple (3, 10, 2, 7, 15, 6), qui a pour longueur 6 [1]. Celle-ci contient des sous-suites croissantes de longueur 3, comme par exemple (3, 10, 15) ou bien (2, 7, 15), mais pas de sous-suite croissante de longueur 4. Pour une suite aléatoire de longueurn, quelle est la longueur maximale d’une sous-suite croissante ? Notons l(n) cette quantité. En langage mathématique, l(n) est ce qu’on appelle une variable aléatoire, puisqu’elle dépend d’une donnée (la suite de nombre initiale) qui est elle-même aléatoire [2]. Peut-on cependant l’estimer avec une bonne précision lorsque n devient grand ? Ce problème mathématique, d’apparence simple, est d’une richesse inattendue et se place au carrefour de plusieurs disciplines  : mathématiques, physique et informatique. Estimer l’aléatoire est une activité que nous faisons tous, surtout les assureurs ! Considérons une pièce qu’on tire n fois à pile ou face et intéressons-nous à la COMBINATOIRE variable aléatoire p(n) définie comme le nombre de tirages « pile ». Nous savons tous intuitivement que le rapport p(n)/n sera la plupart du temps proche de 1/2, et cette intuition est confirmée par les mathématiciens qui l’appellent loi des grands nombres. En pratique, p(n)/n ne sera quasiment jamais parfaitement égal à 1/2, mais la différence deviendra d’autant plus petite que n devient grand. On ne peut cependant pas prévoir la valeur (ni même le signe) de cette différence, qui reste intrinsèquement aléatoire et que nous appellerons fluctuation. Dans le cas des tirages à pile ou face, il est connu depuis les travaux de Moivre en 1733 que cette fluctuation a pour ordre de grandeur n ½ et que sa distribution tend vers la loi normale (la fameuse « courbe en cloche » de Gauss). Dans le langage moderne, ce fait est connu sous le nom de théorème central limite, qui a un domaine d’application beaucoup plus vaste que celui des tirages à pile ou face. LES OUTILS PAR JÉRÉMIE BOUTTIER (Direction de la recherche fondamentale) Jérémie Bouttier est chercheur en physique mathématique à l’Institut de physique théorique (unité mixte CEA/CNRS) de Saclay. [1] Dans cet exemple nous prenons des nombres entiers, mais notre discussion s’appliquerait aussi bien au cas de nombres réels quelconques. Nous faisons cependant l’hypothèse simplificatrice que tous les nombres sont distincts. [2] Pour être parfaitement rigoureux, il convient de préciser de quelle manière on tire la donnée initiale au hasard. Comme l(n) ne dépend que de l’ordre relatif des éléments de la suite, on peut se ramener sans perte de généralité au cas où la suite initiale est une permutation, qu’on supposera tirée uniformément au hasard parmi les n ! permutations de taillen. Clefs - #70 - Les voix de la recherche Sacrées mathématiques ! - 11



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