142 Des outils pour sonder l’Univers (a) (b) (c) Figure 2. La même distribution de particules est ici traitée dans un code sur grille (a). L’opération de fusion des particules sur la grille aboutit au calcul de la densité de masse (b, représentée par les niveaux de gris). La résolution de l’équation de Poisson permet de calculer le potentiel gravitationnel (grille c) à partir de la densité, puis la force gravitationnelle subie par chaque particule en fonction de la position sur la grille du potentiel. CLEFS CEA - N°58 - AUTOMNE 2009 particules numériques. Une structure « en arbre » se construit dans la mémoire de l’ordinateur pour regrouper « les plus proches voisins ». Sur cette figure, deux feuilles d’une même branche de l’arbre représentent les particules 1 et 2. Leur interaction gravitationnelle se calcule de manière exacte (aux arrondis informatiques près), c’est-à-dire proportionnellement à chacune de leur masse et inversement proportionnelle au carré de leur distance. L’interaction entre les particules 3, 4 et 5 se traite aussi de manière exacte. En revanche, concernant des particules plus éloignées les unes des autres, l’estimation des interactions se simplifie afin d’accélérer le calcul. Si l’on descend d’un niveau sur l’arbre, les particules 1 et 2 sont remplacées par une seule particule a, dont la masse revient à la somme des deux et se place au centre de gravité. La particule distante 6 subit une seule force, celle exercée par la pseudo-particule a, au lieu des deux forces exercées indépendamment par les particules 1 et 2. De même, le groupe de particules 3, 4 et 5 est remplacé par une autre pseudo-particule b, au même niveau que a sur l’arbre. Il suffit donc de calculer une seule force exercée par la particule b sur la particule a, au lieu des six forces exercées par chacune des particules 3, 4 et 5 sur les particules 1 et 2 individuellement. Le regroupement des particules selon les niveaux de l’arbre n’entraîne pas forcément une dégradation de précision. Certes, l’interaction gravitationnelle entre les pseudo-particules a et b reste une approximation de la réalité, cependant elle demeure fiable en cas d’application à des particules suffisamment éloignées. Mais surtout, le gain en temps de calcul permet d’augmenter le nombre de particules entrant dans la simulation et donc la précision du modèle. Ainsi, une galaxie spirale contient cent milliards d’étoiles dans un disque de 10 kiloparsecs de rayon. Un calcul exact de toutes les interactions limiterait le nombre de particules à environ dix mille et la résolution du modèle (distance entre particules proches) ne serait que de 200 parsecs. L’emploi d’un code en arbre permet, à temps de calcul égal, de modéliser le disque à l’aide d’un à dix millions de particules, autorisant des résolutions spatiales de l’ordre d’une dizaine de parsecs. Le grand avantage du treecode réside dans sa conception adaptative. Le calcul des interactions étant plus fin à petite distance, la résolution devient optimale pour suivre les structures denses et massives. En revanche, ce code ne figure pas parmi les meilleurs pour modéliser la formation de nouvelles structures dans des régions qui ne sont pas déjà denses. Pour cette raison, les simulations de formation des structures s’intéressent souvent à d’autres codes, dits de « particules sur grille ».• Les codes dits de « particules sur grille » découpent l’espace simulé à l’aide d’une grille (figure 2). Dans sa version la plus simple, celle-ci se présente comme étant cartésienne et de résolution uniforme, c’est-àdire que toutes les cellules y sont cubiques et de même taille. Les particules fusionnant sur cette grille, la première étape de l’opération consiste à compter le nombre de particules présentes dans chaque cellule – en réalité, les particules positionnées au bord d’une cellule sont partiellement attribuées aux cellules voisines pour accroître la précision du calcul. Une fois cette étape réalisée, la grille donne la densité de masse dans l’espace simulé. La résolution de l’équation de Poisson (1) indique que le potentiel gravitationnel s’obtient par la convolution de cette densité par la fonction universelle 1/r, où r représente la distance d’une cellule à une autre. Plusieurs calculs de cette convolution sont possibles en fonction de la forme de la grille. Sur une grille cartésienne, la technique la plus rapide consiste à effectuer la transformée de Fourier (2) (1) Siméon-Denis Poisson (1781-1840), mathématicien, géomètre et physicien français qui a réalisé d’importants travaux sur l’électricité et le magnétisme qu’il contribua à fonder. En astronomie, il a essentiellement étudié l’attraction des planètes. (2) Joseph Fourier (1768-1830), mathématicien et physicien français, connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes appelées séries de Fourier.