42 n°28 déc 11/jan 2012
42 n°28 déc 11/jan 2012
  • Prix facial : gratuit

  • Parution : n°28 de déc 11/jan 2012

  • Périodicité : mensuel

  • Editeur : 42lemag.fr

  • Format : (210 x 297) mm

  • Nombre de pages : 56

  • Taille du fichier PDF : 13,9 Mo

  • Dans ce numéro : OSS 117.

  • Prix de vente (PDF) : gratuit

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PORTNAWAK TOUT CE QUE VOUS N’AVEZ JAMAIS VOULU SAVOIR Les fractales Yo Dawg, I heard you like geometry ! Un jour que ma mère me forçait à manger ses saloperies de légumes, j'ai regardé mon assiette d'un air posttraumatique, et là, je me suis aperçu que mon chou-fleur était constitué de mini choux-fleurs, eux-mêmes constitués de mini-mini choux-fleurs, etc. L'aspect de cet objet pas bon restait le même, quelle que soit l'échelle à laquelle on le regardait. Là je me suis dit que la nature était bien cruelle. Qu'un tel objet puisse être visuellement aussi intriguant et en même temps super dégueu à bouffer, where was my god now ? J'ai alors décidé de me venger du monde qui m'entourait, et je suis devenu rédacteur à 42. C'est quoi une fractale ? Définition destinée aux humains : Une fractale est un objet qui contient des répliques (pas forcément exactes, mais au moins un petit peu) de lui-même, à une échelle différente. Les répliques contenant encore des répliques, etc. Définition destinée aux matheux : Une fractale est un objet dont la dimension de Hausdorff est strictement supérieure à sa dimension topologique. Ça veut dire quoi ? J'en sais rien, j'ai piqué la phrase dans Wikipédia. Mais je vais quand même essayer de vous donner un exemple. Pendant ce temps, en Angleterre... John Pudding (nom choisi au hasard afin de préserver l'anonymat), décide de mesurer la surface et le périmètre de son île natale. Il en fait le tour, et en détermine une forme approximative, avec des points de repère. Pour la surface, pas de soucis. Il peut facilement en estimer une valeur minimale et une maximale. Avec plus de points de repère, il est plus précis, et l'intervalle d'incertitude se resserre. Mais pour le périmètre, c'est une autre paire de rosbifs. Plus il a de points, plus le chemin délimitant l'Angleterre fait des détours, et plus le périmètre augmente. Il ne parvient pas à en déterminer une valeur maximale ! John Pudding parvient tout de même à - 50 (42lemag.fr) -
PORTNAWAK ses fins, parce qu'on est dans le monde réel, et qu'avec une échelle de distance suffisamment microscopique, plus aucun détour n'est possible. Mais si on était dans le monde fabuleux des mathématiques, ça ne s'arrêterait jamais. L'Angleterre aurait une surface impossible à calculer de manière exacte, mais au moins ce serait une valeur finie, car on pourrait la situer entre un maximum et un minimum. Par contre, son périmètre serait infini. Voilà, c'est une explication très sommaire de l'astuce entre dimension de Hausdorff et dimension topographique. Dans le monde fabuleux des mathématiques, la côte de l'Angleterre est une fractale. Et celle des autres pays ? Aussi. Mais c'est souvent l'Angleterre qu'on cite, c'est la plus représentative, car sa côte est très découpée. Pendant ce temps, dans la nature... La monde bucolique et champêtre où nous vivons est toute plein d'exemple d'objets fractals (oui, c'est comme ça qu'on dit, bande de chacaux). On a déjà vu le chou-fleur et l'Angleterre. En voici d'autres, en vrac : Les arbres. Une branche d'arbre est constituée de plusieurs petites branches d'arbres. Les ondes radios. En considérant une plage de fréquence réduite, une onde radio est une jolie sinusoïde bien foutue, comme on en voit dans les oscilloscopes. Mais si on zoome (ce qui revient à considérer une autre plage de fréquence), on s'aperçoit que le trait de cette sinusoïde est en réalité constitué d'une succession de petites sinusoïdes. Et si on zoome encore, ces petites sinusoïdes ne sont pas des traits, mais des petites-petites sinusoïdes. C'est grâce à cette imbrication que l'on peut faire circuler, sur un même "support" (l'atmosphère terrestre), plusieurs ondes, de fréquences différentes. Ce qui vous permet de recevoir en même temps la téloche, le téléphone portable, le wi-fi du voisin, et le bordel sonore qu'il fout en se tapant la concierge. Les cristaux de neige et les nuages, ni les arcs-en-ciel ni les licornes, mais les cornes de licorne, presque. Le labyrinthe de mon "jeu moisi de Tonton Réchèr". Il n'y a que 2 niveaux de labyrinthe. Mais imaginez qu'en zoomant, on trouve un troisième niveau, inscrit dans le deuxième. Et ainsi de suite jusqu'à l'infini. Ça ferait une fractale. Tiens au fait, le chemin de la solution du labyrinthe a une certaine longueur pour le premier niveau. Pour le deuxième, c'en est une autre, plus grande. Et ainsi de suite, jusqu'à une longueur infinie. Exactement comme la côte de l'Angleterre dans les mathématiques. La putain de fractale de Mandelbrot ! Monsieur Mandelbrot a trouvé un algorithme assez simple, pour construire une image fractale super rigolote. (cf. l'espèce de tas de ronds noir entouré de bleu). Comme j'aime bien faire fondre le cerveau des gens, je vais vous expliquer tout ça. Attention, faut connaître les nombres complexes. Pour faire long : Wikipedia is your friend. Pour faire court : voir encadré. Mettons que votre image soit constituée de 2700 pixels en largeur, et 2400 en hauteur. Vous pouvez prendre d'autres valeurs, mais l'idéal est de garder la même proportion largeur/hauteur, sinon ce sera tout déformé. Faites un petit changement d'échelle, afin de considérez que les coordonnées de vos pixels vont de -2.1 à +0.6 pour les x, et de -1.2 à +1.2 pour les y. Pour chaque pixel (x, y) de votre image, considérez le nombre complexe c = x + iy. TOUT CE QUE VOUS N’AVEZ JAMAIS VOULU SAVOIR Si le module de c est supérieur à 2, le pixel a une couleur bleu foncé. On peut - 51 (42lemag.fr) -



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